Казаков А. Л., Орлов Св. С., Орлов С. С.
Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности

Построены и исследованы точные решения нелинейного параболического уравнения второго порядка, которое в отечественной научной литературе обычно именуется «нелинейным уравнением теплопроводности», или «уравнением нелинейной фильтрации», а за рубежом — “the porous medium equation”. Рассматривается специальный класс решений, имеющих вид тепловой волны, которая распространяется по холодному (нулевому) фону с конечной скоростью. При этом на границе тепловой волны, называемой тепловым фронтом, происходит вырождение уравнения с понижением его порядка. Построение указанных решений посредством перехода к переопределенной системе и анализа ее разрешимости сводится к интегрированию нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, при этом начальное условие таково, что уравнение является неразрешенным относительно старшей производной. Получены некоторые допустимые семейства тепловых фронтов и соответствующие им классы точных решений поставленной задачи. Методами качественной теории дифференциальных уравнений и степенной геометрии, адаптированных для вырождающихся уравнений, проведено подробное исследование глобальных свойств решений. Выполнена интерпретация полученных результатов с точки зрения исследования поведения и свойств тепловых волн с логарифмическим законом движения фронта.

A. L. Kazakov, Sv. S. Orlov, S. S. Orlov
Construction and Study of Exact Solutions to A Nonlinear Heat Equation

We construct and study exact solutions to a nonlinear second order parabolic equation which is usually called the “nonlinear heat equation” or “nonlinear filtration equation” in the Russian literature and the “porous medium equation” in other countries. Under examination is the special class of solutions having the form of a heat wave that propagates through cold (zero) background with finite velocity. The equation degenerates on the boundary of a heat wave (called the heat front) and its order decreases. The construction of these solutions by passing to an overdetermined system and analyzing its solvability reduces to integration of nonlinear ordinary differential equations of the second order with an initial condition such that the equations are not solvable with respect to the higher derivative. Some admissible families of heat fronts and the corresponding exact solutions to the problems in question are obtained. A detailed study of the global properties of solutions is carried out by the methods of the qualitative theory of differential equations and power geometry which are adapted for degenerate equations. The results are interpreted from the point of view of the behavior and properties of heat waves with a logarithmic front.

DOI 10.17377/smzh.2018.59.306
Ключевые слова: нелинейное уравнение теплопроводности, точное решение, тепловая волна, теорема существования, качественный анализ обыкновенных дифференциальных уравнений.

Свободный доступ к полным текстам предоставляется после 1 июля года, следующего за годом публикации