Романов В. Г.
Обратные задачи без фазовой информации, использующие интерференцию волн

Рассматриваются обратные задачи для дифференциальных уравнений, в которых решение прямой задачи является комплекснозначной функцией, а для отыскания коэффициентов дифференциальных уравнений задается в качестве информации только модуль решения прямой задачи на некоторых специальных множествах, фаза решения считается неизвестной. В ранее рассмотренных подобных задачах принималось, что задан в широком диапазоне частот модуль той части решения, которая отвечает рассеянному на неоднородностях среды полю. Изучение высокочастотной асимптотики этого поля позволяет извлечь из заданной информации некоторые геометрические характеристики искомого коэффициента (интегралы по прямым в задаче об определении потенциала, римановы расстояния между точками границы в задаче об определении индекса рефракции). Однако оказалось, что измерение модуля рассеянного поля физически более затруднительно, чем измерение модуля полного поля, а не только его рассеянной части. В связи с этим возник вопрос о постановке обратных задач, в которых в качестве полезной информации выступало бы измерение модуля полного поля. Настоящая работа посвящена решению этого вопроса. Здесь предлагается в качестве инициирующего поля брать две плоские волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, и измерять модуль решения полного поля, отвечающего результату интерференции падающих волн. Рассмотрены задачи об определении потенциала для уравнения Шрёдингера и об определении коэффициента диэлектрической проницаемости для системы уравнений Максвелла, соответствующей периодическим по времени электромагнитным колебаниям. Для этих задач установлены теоремы единственности решения. Задачи сведены к решению хорошо известных проблем.

V. G. Romanov
Phaseless Inverse Problems That Use Wave Interference

We consider the inverse problems for differential equations with complex-valued solutions in which the modulus of a solution to the direct problem on some special sets is a given information in order to determine coefficients of this equation; the phase of this solution is assumed unknown. Earlier, in similar problems the modulus of the part of a solution that corresponds to the field scattered on inhomogeneities in a wide range of frequencies was assumed given. The study of high-frequency asymptotics of this field allows us to extract from this information some geometric characteristics of an unknown coefficient (integrals over straight lines in the problems of recovering the potential and Riemannian distances between the boundary points in the problem of the refraction index recovering). But this is physically much more difficult to measure the modulus of a scattered field than that of the full field. In this connection the question arises how to state inverse problems with the full-field measurements as a useful information. The present article is devoted to the study of this question. We propose to take two plane waves moving in opposite directions as an initiating field and to measure the modulus of a full-field solution relating to interference of the incident waves. We consider also the problems of recovering the potential for the Schrödinger equation and the permittivity coefficient of the Maxwell system of equations corresponding to time-periodic electromagnetic oscillations. For these problems we establish uniqueness theorems for solutions. The problems are reduced to solving some well-known problems.

DOI 10.17377/smzh.2018.59.312
Ключевые слова: обратная задача без фазовой информации, уравнение Шрёдингера, уравнения электродинамики, единственность, метод построения решения.

Свободный доступ к полным текстам предоставляется после 1 июля года, следующего за годом публикации