В данной заметке мы рассматриваем естественное понятие монотонного линейного оператора, действующего из векторной решетки в нормированное пространство, показываем, что всякий такой оператор допускает «решеточно-метрическое» разложение в виде композиции решеточного гомоморфизма и линейной изометрии, и приводим несколько приложений полученных результатов к исследованию непрерывных и измеримых расслоений банаховых решеток.