Вводится и уточняется понятие архимедова выпуклого множества и рассматривается задача описания класса топологических векторных пространств, содержащих незамкнутые архимедовы конусы. Приводятся основные результаты, полученые на пути к решению данной задачи, а также ее вариаций, в которых конусы заменены клиньями, а замкнутость — секвенциальной замкнутостью.