Пакет программ STEP+ предназначен для численного исследования автономных систем и систем нелинейных уравнений в зависимости от параметров моделей, часто используемых при описании процессов в биологии, катализе и т. д.
Предлагаемая разработка является версией под WINDOWS пакета программ STEP [1]. Ядро пакета STEP+ универсально и дает пользователю возможность проводить численное исследование для систем из произвольного числа уравнений. В пакете STEP+, как и в пакете STEP, используются оригинальные вычислительные алгоритмы, разработанные в Институте математики СО РАН: вариант метода продолжения решения по параметру, метод Годунова-Булгакова определения устойчивости матрицы (k-критерий), а также многошаговый метод Гира переменного порядка точности [2] для решения задачи Коши. Указанные алгоритмы позволяют изучать в рамках модели такие нелинейные эффекты как гистерезис, сильная параметрическая чувствительность, возникновение автоколебаний и т. д. Подробное описание методов содержится в учебном пособии [1].
Блок-схема проведения численного исследования автономной
системы уравнений в рамках пакета STEP+
- интегрирование автономной системы, как способ задания стартового решения в методе продолжения по параметру при изучении стационарных решений автономных систем. В случае выхода на предельные циклы имеется возможность графического представления их проекций на плоскость или трехмерное фазовое пространство;
Автоколебания в модели Лоренца
- построение диаграммы стационарных решений методом продолжения по параметру c определением областей изменения параметра с разным числом решений. Построение диаграммы сопровождается определением устойчивости стационарных решений в зависимости от параметра;
Диаграмма стационарного решения модели Auxin
- анализ диаграмм стационарных решений, позволяющий выявить бифуркационные значения параметра системы, при котором неустойчивое стационарное решение переходит в автоколебания, а также области изменения параметра, характеризующиеся самовозбуждением автоколебаний.
Диаграмма стационарного решения модели Auxin совместно с определением устойчивости
Пакет состоит из четырех основных разделов: «Создание модели», «Задача Коши», «Стационарные решения» и «Нелинейные системы». Для осуществления запуска расчетных программ и задания расчетных параметров задачи с помощью пользовательского интерфейса создана программа для генерации DLL-библиотеки. Благодаря специальному виду задания правых частей системы дифференциальных уравнений, генератор также находит аналитически матрицу Якоби правых частей системы и матрицу производных по параметрам.
Возможности пакета STEP+ демонстрируются на моделях: 'Auxin'[3], 'Kaskad'[4] , 'Lorenz'[4] и 'Grain'[5]. В отличие от первых трех моделей автономная система уравнений модели возникает в результате применения метода прямых к начально-краевой задаче для нелинейного уравнения параболического типа.
Пакет STEP+ реализован в среде визуального программирования Visual Basic.NET и предназначен для использования в операционной системе WINDOWS 2000\XP.
Литература:
1. С. И. Фадеев, С. А. Покровская, А. Ю. Березин, И. А. Гайнова.
Пакет программ STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений
и автономных систем общего вида. Описание работы пакета STEP на примерах
задач из учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов».
2. Gear G. W.
The automatic integration of ordinary differential equations // Comm.
ACM. – 1971. – Vol. 14. – N 3. – P. 176-179.
3. В. А. Лихошвай, Н. А. Омельянчук, В. В. Миронова, С. И. Фадеев, Э.
Д. Мелснис,Н. А. Колчанов
Математическая модель паттерна распределения ауксина в корне растения.
// Онтогенез, 2007, т.38, №6, стр.1-11.
4. М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек
Методы анализа нелинейных динамических моделей, Москва, Мир, 1991, 366
с. (Задача 2 и Задача 10).
5. Paterson W. R., Gresswell D. L.
A simpl method for the calculation of effectiveness factors // Chem. Eng.
Sci., 1971, v.26, p.605-616.
