Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998, 280 с., ил.
Рецензенты: Издание
осуществлено при
поддержке |
|
|
Настоящая книга является расширенным и современным вариантом монографии С.К.Годунова "Элементы механики сплошной среды", изданной в 1978 г. издательством "Наука" (Москва) и удостоенной в 1993 г. премии им. академика М.А.Лаврентьева Российской академии наук. Эта монография была написана на материале университетского курса, читавшегося в Новосибирском государственном университете, и содержала основанное на совместных работах автора и Е.И.Роменского изложение принципов, лежащих в основе феноменологического вывода и качественного изучения полной системы дифференциальных уравнений механики сплошных сред.
Данная книга содержит переработанные главы, входившие в монографию С.К.Годунова "Элементы механики сплошной среды", а также новые главы, основанные на исследованиях последнего времени, посвященных структуре законов сохранения, управляющих разнообразными процессами в сплошных средах (электродинамика, сверхпроводимость, сверхтекучесть и т. п.), термодинамическим тождествам. Особое внимание уделено связи этих тождеств и законов сохранения с критериями корректной постановки соответствующих математических задач.
Для научных сотрудников, преподавателей, аспирантов и студентов физических и математических факультетов университетов и высших учебных заведений с углубленной физико-математической подготовкой.
Глава I. Элементарные свойства деформаций и напряжений
§ 1. Деформация среды и понятие о
скорости деформации
Описание движения среды нолем
скоростей. Деформация - изменение
формы. Отображения, порожденные
перемещениями точек, и
аппроксимирующие их линейные
преобразования. Канонический вид
аффинных (линейных) преобразований.
Упругие и вязкие напряжения. Тензор
скоростей деформации. Общее
определение аффинного
ортогонального тензора второго
ранга.
§ 2. Общие свойства ноля
напряжений
Условия равновесия покоящейся
среды с разрезом. Тензор
напряжений. Лемма об интегральных
соотношениях и правило для
вычисления напряжений ни
площадках. Тензор напряжений в
движущейся среде. Неоднозначность
его определения из сохранения
импульса при заданном законе
движения. Условия, обеспечивающие
симметрию тензора напряжений.
§ 3. Напряженное состояние
в точке
Преобразование тензора напряжений
при переходе к новой ортогональной
системе координат. Главные оси и
главные напряжения. Определение
всех возможных нормальных и
касательных напряжений на
площадках, проходящих через
фиксированную точку. " Круги
Мора". Наибольшие касательные
напряжения. Девиатор тензора
напряжений. Закон взаимности.
Инварианты девиатора.
§ 4. Изотропная упругая
среда, ее уравнение состояния и
формулы Мурнагана для напряжений в
ней
Основные положения термодинамики
идеального газа. Изотропная
упругая среда, ее стандартное
напряженное состояние, параметры,
определяющие деформацию и тепловое
состояние. Принцип энтропии.
Энергетические затраты на
деформацию и на ее вариацию.
Определение нормальных напряжений
на гранях деформируемого кубика.
Скос и его использование для
определения касательных
напряжений на гранях. Формулы
Мурнагана.
§5. Вязкие напряжения
внутреннего трения в изотропной
среде
Вязкие напряжения - функции тензора
скоростей деформации. Ограничения,
вытекающие из изотропности.
Тензорная функция тензорного
аргумента. Канонический вид
тензора скоростей деформации и
тензора вязких напряжений.
Совпадение их главных осей. Общий
вид тензорной функции тензорного
аргумента. Работа внутренних
поверхностных сил, ее мощность и
постулат диссипативности.
Ограничения, накладываемые им на
законы вязкого трения. Случай
линейной зависимости тензора
напряжений от тензора скоростей
деформации. Первый и второй
коэффициенты вязкости. Вязкость в
одномерных задачах.
§ 6. Тензоры деформации и
дисторсии
Обсуждение формул Мурнагана и
предложение об использовании для
описания деформации не якобиана
отражения, а метрического тензора
деформации. Геометрический смысл
последнего. Другие тензоры
деформации. Дисторсия - матрица,
обратная якобиану отображения.
Тензоры деформации в эйлеровом и
лагранжевом представлении.
§ 7. Тензорная запись
формул Мурнагана и их упрощенный
вид в случае малых деформаций
Формальное преобразование формул
Мурнагана, приводящее к явной
зависимости тензора напряжений от
тензора деформации. Линейное
приближение и закон Гука
(изотермический и изэнтропический
случаи).
§ 8. Изменение дисторсии и
тензора деформации при движении
среды. Новый вывод формул Мурнагана
Уравнения траекторий частиц. Их
дифференцирование, приводящее к
уравнениям, описывающим изменение
с течением времени (эволюцию)
дисторсии. Матричная запись этих
последних уравнений. Эволюция
метрического тензора. Вариация
дисторсии и метрического тензора
деформации при смешениях
материальных точек. Вариация
плотности и уравнение
неразрывности. Для вывода формул
Мурнагана непосредственно в
тензорной форме используют формулы
вариации дисторсии, тензора
деформации, плотности и выражение
для работы внутренних
поверхностных сил. Формулы
Мурнагана для кристаллической
среды. Формулы Мурнагана,
выраженные через дисторсию.
Глава II. Эффективная упругая деформация
§ 9. Релаксация напряжений
и понятие о тензоре эффективной
упругой деформации
Релаксация касательных напряжений
и ее моделирование. Характерное
время релаксации. Поведение
девиатора тензора напряжении.
Вычисление деформации по
напряжениям и понятие эффективной
упругой деформации (линейный и
общий случаи). Релаксация
эффективной упругой деформации.
Компактные и пористые среды.
Поведение плотности при
релаксации. Обобщение модели
Максвелла на случай конечных (не
малых) деформаций. Поведение
энтропии при релаксации и
неравенства на уравнение
состояния, достаточные для ее
возрастания. Релаксационная модель
в произвольной ортогональной
системе координат.
§ 10. Уравнения для тензора
эффективной упругой деформации
Эффективная дисторсия и ее
неоднозначность. Объединение
формул, описывающих влияние
движения точек среды и релаксации
на эволюцию дисторсии и
метрического тензора. Проверка
уравнения неразрывности и
возрастания энтропии при
релаксации.
§ 11. Условия совместности
Постановка задачи. Сведение ее к
выяснению условий разрешимости
линейной системы, формулировка
этих условий, их необходимость и
достаточность. Условия
совместности Сен-Венана для малых
деформаций и их обоснование.
§ 12. Описание релаксации
касательных напряжений при помощи
уравнений для эффективной
дисторсии
Уравнения для эффективного тензора
деформации можно рассматривать как
следствие уравнений для дисторсии,
если в последние ввести специально
подобранные правые части. Условия
совместности для поля дисторсии
состоят в равенстве нулю тензора
Бюргерса. Интерпретация тензора
Бюргерса. Уравнения, описывающие
изменение тензора Бюргерса с
течением времени.
§ 13. Краткий очерк
понятий, используемых при описании
дефектов кристаллической решетки
(дислокаций)
Параллелепипедальная
решетка и реперы, ее определяющие.
Неоднозначность их выбора.
Энергетические критерии
соответствия реперов
недеформированной и
продеформированной решеток.
Понятие об экспериментальном
определении дисторсии. Дефекты не
дают возможности считать
продеформированную решетку
отображением правильной.
Восстановление прообраза вдоль
пути в продеформированной решетке.
Вектор Бюргерса как мера дефектов,
охватываемых замкнутым путем. Типы
дефектов - краевая, винтовая
дислокация. Континуальное описание
дефектов.
Глава III. Дифференциальные уравнения динамических процессов
§ 14. Законы сохранения
Законы сохранения массы, импульса и
энергии в интегральной и
дифференциальной формах.
§ 15. Некоторые
дифференциальные уравнения,
являющиеся следствиями законов
сохранения
Различные формы уравнения
неразрывности, уравнений Эйлера,
уравнений энергетического баланса.
Уравнения для энтропии, содержащие
в правой части слагаемое,
пропорциональное плотности
мощности внутренних поверхностных
напряжений. "Закон сохранения
энтропии". Ограничение его
применимости.
§ 16. Задача о растяжении
плоского слоя и стержня
Обыкновенные дифференциальные
уравнения, описывающие изучаемые
процессы. Качественное изучение их
решений в задаче об изотермическом
растяжении стержня. Сжатие стержня.
Зависимость напряжений от пути
деформации. Роль характера
зависимости времени релаксации от
напряженного состояния и
температуры. Предел текучести.
§ 17. Уравнения для
одномерных нестационарных
процессов и структура стационарных
волн в максвелловской среде
Одномерная система уравнений в
частных производных. Стационарные
плоские волны и обыкновенные
уравнения, описывающие их
структуру. Интегралы этих
уравнений - законы сохранения.
Решения с гладкой и разрывной
структурой. Уравнение для
координаты накладывает на
некоторые возможные структуры
запрет. Ударная адиабата Гюгонио,
упругая адиабата и прямая
Михельсона. Изменение характера
структуры при росте амплитуды
волны. Упругие предвестники и
пластические волны. Роль времени
релаксации в формировании
структуры волны.
Глава IV. Корректность дифференциальных уравнений и термодинамика
§ 18. Условия на уравнение
состояния, обеспечивающие
корректность уравнений теории
упругости
Полная система уравнений
нелинейной теории упругости.
Изучение решений. С нулевым
тензором Бюргерса в канонических
лагранжевых координатах. Вывод
уравнений в этих координатах из
вариационного принципа Лагранжа.
Необходимые условия
гиперболичности. Вспомогательные
формулы для сингулярных чисел
матрицы, близкой к диагональной.
§ 19. Запись уравнений
линейной теории упругости в виде
симметрической гиперболической
системы
Уравнения линейной теории
упругости. Уравнение закона
сохранения энергии как их
следствие. Обсуждение правил
вывода этого следствия, состоящего
в домножении уравнений на
некоторые множители и последующем
сложении. Выбор этих множителей в
качестве новых искомых функций для
симметризации системы.
Производящие функции
симметрической системы. Условия
гиперболичности уравнений
линейной теории упругости.
§ 20. Симметризация
уравнений газовой динамики
Баротропный газ и закон сохранения
энергии на гладких решениях.
Производящие функции для уравнений
баротропного газа. Уравнения
газовой динамики общего вида и
закон сохранения энтропии как их
следствие (на гладких решениях).
Производящие функции для уравнений
газовой динамики. Некоторые
преобразования выпуклых функций в
выпуклые. Их использование для
получения критерия
гиперболичности уравнений газовой
динамики.
§ 21. Малые вязкости и их
влияние на поведение решений
Уравнения с малыми вязкостями и их
решения в виде стационарных
плоских волн. Эти решения
описываются обыкновенными
уравнениями специального вида.
Геометрическая интерпретация
таких уравнений и их решений.
Соотношения на разрывах. Число
характеристик, приходящих на
разрыв справа и слева. Примеры
использования разобранной
геометрической интерпретации для
анализа свойства решений. Аналог
закона возрастания энтропии на
ударных волнах. Ошибка Римана.
§ 22. Корректность,
устойчивость и постулаты
феноменологической термодинамики
Корректность уравнений,
описывающих распространение звука
в теплопроводном газе. является
следствием выпуклости уравнения
состояния. Задача о колебании
поршня, закрывающего цилиндр с
газом. Условия устойчивости его
колебаний. Обобщения рассмотренной
конструкции и условия их
устойчивости. Постулат об
устойчивости (или корректности)
может заменить постулат о
невозможности вечного двигателя
второго рода при выводе теоремы об
универсальном интегрирующем
множителе в термодинамике.
Глава V. Одномерные термодинамически согласованные уравнения математической физики
§ 23. Вариационный подход к
выводу одномерных уравнений.
Обобщения
Лагранжиан и варианты записи
вариационных уравнений.
Интегральные законы сохранения и
производящие функции. Обобщение -
включение гироскопических членов и
дополнительных уравнений, не
нарушающих законов сохранения.
Координаты Лагранжа и Эйлера.
Интегральные законы сохранения в
координатах Эйлера.
§ 24. Производящие функции
термодинамически согласованных
уравнений
Дифференциальные уравнения в
координатах Эйлера и их
производящая функция.
Преобразование к новым неизвестным
и к более удобной производящей
функции. Дополнительные законы
сохранения. Термодинамическая
согласованность (краткая
мотивировка понятия).
§ 25. Конкретные примеры
одномерных уравнений
математической физики
Формальная схема уравнений для
всех последующих примеров. Газовая
динамика, упругость, учет
химического состава (при
отсутствии реакций).
Двухскоростная среда и
сверхтекучесть. Уравнение
Максвелла и описание движущихся
диэлектриков. Сверхпроводимость.
§ 26. Симметризация
одномерных уравнений
Эквивалентное преобразование
уравнений и введение обозначений,
приводящих термодинамически
согласованную систему к
симметрическому гиперболическому
виду.
Глава VI. Многомерные термодинамически согласованные законы сохранения
§ 27. Структурная схема
многомерных уравнений
Обозначения. Основные уравнения и
уравнения с ними совместные. Вывод
дополнительного закона сохранения
- уравнения для энергии.
§ 28. Симметрическая
гиперболичность
Линейные комбинации уравнений
переопределенной системы образуют
систему, квазилинейная запись
которой имеет квадратные
симметричные матрицы
коэффициентов. Гиперболичность -
следствие выпуклости порождающего
потенциала L.
§ 29. Уравнения газовой
динамики и магнитной гидродинамики
Порождающий потенциал и выбор
неизвестных. Конкретизация
дополнительного закона сохранения.
Условия гиперболичности. Описание
движущейся газовой смеси.
Идеальная магнитная гидродинамика.
Второй дополнительный закон
сохранения.
§ 30. Уравнения теории
упругости
Упругая энергия выражается через
разгрузочную плотность, дисторсию
и энтропию. Закон сохранения для
дисторсии при выполнении
дополнительных уравнений в
начальный момент. Модификация
формул Мурнагана. Производящий
потенциал, термодинамическое
тождество и конкретизация
формальных уравнений.
§ 31. Произвол в уравнении
состояния упругой среды и его
использование при симметризации
Нестрогая выпуклость уравнения
состояния для малых деформацией.
Зависящий от дисторсии добавок к
энергии, не меняющий решений при
чисто упругих деформациях среды (в
случае нулевого тензора Бюргерса).
Возможность использования таких
добавок для обеспечения выпуклости
энергии. Добавка, не меняющая
напряжений. Выпуклость
производящего потенциала L как следствие
выпуклости энергии.
§ 32. Упругая среда в
электромагнитном поле
Производящий потенциал и
конкретизация общих уравнений.
Обобщение на случай анизотропии в
диэлектрической и магнитной
проницаемостях. Дополнительные
стационарные законы сохранения и
закон сохранения энергии.
Видоизменение уравнений для
описания проводящей среды. Закон
Ома и возрастание энтропии.
§ 33. Сверхтекучесть в
трехмерном случае
Производящие термодинамические
потенциалы для классической модели
сверхтекучего гелия и для
двухскоростной среды, одномерный
вариант которой рассматривался в §
25. Уравнения и дополнительные
законы сохранения. Замечания о
возможных вариантах включения в
уравнение моделей диссипативных
процессов.
§ 34. Сверхпроводимость в
движущейся упругой среде
Порождающий потенциал, приводящий
к модели сверхпроводника,
предложенной братьями Лондонами.
Стационарные законы сохранения.
Отсутствие диссипации и сохранение
энтропии.
Список литературы
Первые четыре главы почти дословно (с небольшими модификациями и исправлениями) совпадают с текстом монографии С.К.Годунова "Элементы механики сплошной среды", изданной в 1978 г. издательством "Наука" (Москва) и отмеченной в 1993 г. премией им. академика М.А.Лаврентьева Российской академии наук. Эта монография была составлена по материалу курса, неоднократно читавшегося на физическом факультете Новосибирского государственного университета для студентов, специализирующихся по теории и применениям взрыва. Курс был основан на исследованиях, которые проводились обоими авторами данной книги по формулировке дифференциальных уравнений, описывающих процессы взрывной деформации металлов. При этих процессах в одних зонах надо использовать уравнения теории упругости, а в других - уравнения гидродинамики, например, там, где образуются кумулятивные струи. В переходных зонах протекают пластические деформации, ведущие к образованию остаточных напряжений. Описываемая в монографии модель отличается от уравнений теории упругости в эйлеровых координатах наличием релаксационных членов, с помощью которых моделируются пластические деформации и переход упругой среды в жидкое состояние. К настоящему времени описываемая модель была уже неоднократно использована для расчета конкретных задач, возникающих при моделировании высокоскоростных (взрывных) деформаций металлов, сопровождающихся, в частности, образованием остаточных напряжений [2, 7, 12, 13, 14, 21, 22].
Введенное понятие эффективной упругой деформации оказалось полезным при создании новых, применяемых при больших деформациях моделей некоторых типов композитных материалов [17-20].
Заключительная глава монографии в издании 1978 г. была посвящена законам термодинамики, используемым при написании и изучении дифференциальных уравнений. Эти законы приводят к специальному виду записи уравнений с помощью производящих функций - термодинамических потенциалов в расширенном толковании. Простейший вариант такой записи, предложенный С.К.Годуновым в 1961 г., и его мотивировка составляли содержание § 19-22. К настоящему времени описанная там форма уравнений получила признание и широкое распространение [1, 3, 8, 9, 15, 25, 27].
Дальнейшему развитию формализации термодинамических соотношений в удобном для уравнений математической физики виде были посвящены работы обоих авторов последних лет. Результаты докладывались на различных научных конференциях и опубликованы в [4-6, 23]. Изложению этих исследований в настоящем издании посвящены две последние главы (V и VI), содержащие формализацию не только классических уравнений гидродинамики, нелинейной упругости (в том числе с учетом явлений, вызванных влиянием электромагнитного поля), но и уравнений, описывающих сверхтекучесть и сверхпроводимость.
На наш взгляд, материал последних глав, посвященных систематизации широкого класса уравнений математической физики, мог бы заинтересовать не только механиков, занимающихся прикладными вопросами, но и математиков, исследующих решения разнообразных дифференциальных уравнений с частными производными. Как известно, много внимания уделяется уравнениям Навье-Стокса, окончательная теория которых все еще остается незавершенной. Системы уравнений, описываемые нами в заключительной главе, содержат уравнения Навье-Стокса в качестве одной, достаточно частной подсистемы.
Следует заметить, что предлагаемая схема формализации уравнений математической физики, с нашей точки зрения, не окончательна. Об этом свидетельствует, в частности, работа [5], в которой стали намечаться причинные связи между структурой термодинамических законов сохранения и теорией представления группы вращений. С другой стороны, широко распространено мнение, что законы сохранения удобно систематизировать на основе подгрупп преобразований, оставляющих инвариантными вариационный функционал. Интересно, что вариационные уравнения обычно допускают приведение к записи в предлагаемой нами форме. Однако даже у полученных таким образом систем существуют иногда решения, которые не являются решениями, вытекающими из вариационного принципа.
На наш взгляд, дальнейшие исследования и развитие теории термодинамически согласованных законов сохранения, теории, которую можно рассматривать как современную схематизацию формальной термодинамики, может привести к интересным результатам и, с другой стороны, должно содействовать удобной для преподавания систематизации многочисленных и на первый взгляд очень разнородных моделей физических процессов. Такая систематизация, в частности, может облегчить изучение вычислительных методов, применяемых при проектировании технических объектов.
Научные работы, по материалам которых написаны последние главы, были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 93-01-01515, 96-01-01680, 96-15-96290).
С. К. Годунов, Е.И.Роменский
