 |
|
Настоящая книга написана на основе двух учебных пособий С. К. Годунова "Теория спиноров и представлений группы вращений" и "Коэффициенты Клебша-Гордана и специальные функции для решения инвариантных уравнений", изданных в Новосибирском университете в 1978-1979 гг. по конспектам лекций по теории представлений группы вращений, читаемых автором в те годы на физическом факультете Новосибирского государственного университета. При подготовке настоящего издания разработана новая схема изложения сферических вектор-функций, которая, как и нетрадиционный подход к изложению систем уравнений, инвариантных относительно вращений, представляет интерес для специалистов.
Изложение начинается с простейших сведений, требующих от читателя лишь начальных знаний из линейной алгебры. Инфинитезимальный метод, связь с группой унитарных матриц второго порядка, основные факты теории представлений, коэффициенты Клебша- Гордана излагаются не абстрактно, а непосредственно для конкретных групп с подробными объяснениями, доступными для читателей без специальной теоретической подготовки и нацеленными на обучение навыкам конкретных вычислений. Изложение сопровождается большим количеством задач и упражнений, часть из которых используется в основном тексте, а часть - знакомит с тематикой смежных вопросов, имеющих прикладное значение.
Для научных сотрудников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов физических и математических факультетов университетов и вузов с углубленной физико-математической подготовкой.
Глава 1. Представления группы вращений
§ 1. Вращения трехмерного
пространства
Ортогональные преобразования
трехмерного евклидова
пространства. Вращения. Примеры
ортогональных преобразований, не
являющихся вращениями. Понятие
группы. Запись произвольного
вращения в виде произведения
вращений вокруг координатных осей.
Углы Эйлера. Вид матрицы вращения
вокруг некоторой оси.
§ 2. Представления группы
вращений
Понятие
представления группы в линейном
пространстве. Конечномерное
представление. Размерность
представления. Эквивалентные
представления. Неприводимые и
приводимые представления. Вид
матриц $T_g$, $g \in G$, в случае
приводимого представления $T_G$
группы $G$. Унитарное представление.
Вполне приводимое представление.
Унитарное приводимое
представление является вполне
приводимым. Пример приводимого но
не вполне приводимого
представления.
§ 3. Однопараметрические
подгруппы и их представления.
Коммутационные соотношения
Понятие однопараметрической
подгруппы. Однопараметрические
подгруппы группы $SO(3)$ как вращения
вокруг координатных осей.
Непрерывная зависимость от
параметра. Инфинитезимальный
оператор однопараметрической
подгруппы. Восстановление
однопараметрической подгруппы по
ее инфинитезимальному оператору.
Инфинитезимальный оператор
представления. Лемма о коммутаторе.
Коммутационные соотношения в
группе вращений.
§ 4. Инфинитезимальные
операторы A, B, C
Построение
специальной цепочки векторов $f_n$,
$f_{-n+1}$,...,$f_n$, на которые просто
действуют операторы $iA \pm B$, $iC$.
Доказательство инвариантности и
неприводимости подпространства
$L_n$, натянутого на векторы $\{f_k\}$.
Понятие канонического базиса
неприводимого представления и
понятие веса представления.
§ 5. Группа $SU(2)$
Представление произвольной
матрицы из $SU(2)$ в виде
$\left[\begin{array}{rr}
\alpha & \beta\\
-\bar\beta & \bar\alpha
\end{array}\right]$,
$\alpha\bar\alpha + \beta\bar\beta = 1$.
Параметры Кэли-Клейна и углы
Эйлера. Однопараметрические
подгруппы группы $SU(2)$.
Инфинитезимальные операторы и
коммутационные соотношения.
§ 6. Представление $SU(2)$
матрицами из $SO(3)$
Представление
вращения трехмерного пространства
с помощью матриц из $SU(2)$ как
преобразование матрицы
$\left[\begin{array}{rr}
z & x+iy\\
x-iy & -z
\end{array}\right]$.
Соответствие между
однопараметрическими подгруппами.
Геометрическая интерпретация
соответствия между группами $SO(3)$ и
$SU(2)$. Двузначность описываемого
представления.
§ 7. Спинорная реализация
неприводимых представлений групп
$SU(2)$ и $SO(3)$
Восстановление оператора $Tg_{[z]}(w)$.
Однозначные неприводимые
представления группы $SO(3)$
существуют только в пространствах
нечетных размерностей.
Представление группы $SU(2)$ в
пространстве спинорных полиномов.
§ 8. Матричные элементы
неприводимых представлений группы
$SU(2)$
Явные
формулы матричных элементов
спинорного представления.
Выражение матричных элементов
через параметры Кэли-Клейна.
Матричные элементы представления в
пространстве гармонических
полиномов. Реализация
неприводимого представления
матрицами $H^n(g)$ и матрицами $H^n(\bar g)$.
§ 9. Спинорные поля.
Сферические и шаровые функции
Понятие
сферической функции. Замечание о
разложении представления группы
вращений на неприводимые
представления. Пример
представления группы вращений в
пространстве вектор-функций,
компоненты которых суть однородные
полиномы. Базисы инвариантных
подпространств. Полиномиальные
сферические вектор-функции.
Формальный и реальный спины.
§ 10. Интегрирование по
группе $SU(2)$ и инвариантное
скалярное произведение
Понятие
инвариантного интеграла по группе.
Инвариантное интегрирование по
группе $SU(2)$. Существование
скалярного произведения,
относительно которого
представление группы $SU(2)$ унитарно.
Теорема о разложении пространства
унитарного представления в прямую
сумму инвариантных подпространств.
Теорема о разложении унитарного
представления на неприводимые.
§ 11.
Полное описание
конечномерных представлений групп
$SO(3)$ и $SU(2)$
Теорема о
разложении произвольного
представления в прямую сумму
представлений, кратных
неприводимым.
§ 12. Лемма Шура и свойства
ортогональности. Элементы теории
характеров
Лемма Шура. Теорема об
ортогональности матричных
элементов. Понятие характера.
Характеры эквивалентных
представлений. Характер прямой
суммы представлений. Явное
выражение характера неприводимого
представления веса $n$.
Ортогональность характеров.
Глава II. Произведения представлений групп $SO(3)$ и $SU(2)$. Сферические вектор-функции
§ 13. Представление группы
$SU(2)$ в пространстве биспинорных
полиномов
Определение биспинорных полиномов.
Пространство биспинорных
полиномов. Важный пример
представления группы $SU(2)$ и
унитарность этого представления в
пространстве биспинорных
полиномов. Инфинитезимальные
операторы. Канонический базис
пространства биспинорных
полиномов. Коэффициенты
Клебша-Гордана. Формула для
произведения матричных элементов.
§ 14. Коэффициенты
Клебша-Гордана и символы Редже
Производящая функция для
коэффициентов Клебша-Гордана.
Символы Редже. Производящая
функция для символов Редже. Связь
между коэффициентами
Клебша-Гордана и символами Редже.
Вторая производящая функция для
символов Редже.
§ 15. Кронекеровы
произведения линейных
преобразований (матриц)и
представлений
Кронекеровы произведения
преобразований и матриц. Основные
свойства кронекерова произведения.
Кронекерово произведение
представлений и его основные
свойства. Представление (13.3) группы
$SU(2)$ в пространстве биспинорных
полиномов как кронекерово
произведение. Характер кронекерова
произведения неприводимых
представлений весов $n_1$ и $n_2$ и
разложение его в сумму характеров.
§ 16. Полилинейные
многочлены и конструкции
неприводимых представлений
Полилинейные многочлены.
Естественное представление группы
$SU(2)$. Правило построения базисов
неприводимых представлений.
Спинорные полиномы, коэффициенты
которого суть полилинейные
многочлены. Операторы $d_+$, $d_0$, $d_-$.
Цепочки, определяющие неприводимые
представления. Число эквивалентных
неприводимых полилинейных
представлений. Примеры.
§ 17. Тензоры, тензорные
представления и разложение на
неприводимые представления
Полилинейные функции и тензорные
поля. Формальное определение
ортогонального тензора. Разложение
тензорных полей на неприводимые по
схеме из § 16. Пример - разложение
тензоров второго ранга.
§ 18. Сферические
вектор-функции с произвольными
спинами $L$ и $J$
Предварительное
описание и формулировки.
Производящая функция.
Доказательство некоторых свойств
сферических вектор-функций. Запись
сферических вектор-функций через
коэффициенты Клебша-Гордана и
базисные гармонические полиномы.
Обоснование ортонормированности
сферических вектор-функций.
"Подвижные" базисы, связанные
с точками сферы, и выражение
сферических вектор-функций через
матричные элементы и коэффициенты
Клебша-Гордана.
§ 19. Рекуррентные
соотношения между сферическими
вектор-функциями
Производные сферических функций
$Y^{lj}_{LJ_{(n)}}$. Дифференциальные
операторы $\Delta_-$, $\Delta_0$, $\Delta_+$ как
аналоги полиномиальных операторов
$d_-$, $d_0$, $d_+$. Формулы, описывающие
действие этих операторов на
компоненты сферических
вектор-функций $Y^{lj}_{LJ_{(n)}}$.
§ 20. Обоснование
соотношений между производящими
функциями
Действие операторов $\Delta_+$, $d_+$,
$\Delta_0$, $d_0$, $\Delta_-$, $d_-$ на
производящую функцию
$I_{LJ_{(n)}}(\xi,\eta;\omega,\tau;x,y,z)$
(доказательство формул из табл. 19.1).
§ 21. Произведение трех
неприводимых представлений и
коэффициенты Рака
Трехспинорные полиномы.
Представление в пространстве
трехспинорных полиномов.
Разложение представления в
кронекерово произведение,
коэффициенты Рака.
Глава III. Инвариантные уравнения
§ 22. Системы уравнений,
инвариантные относительно
вращений
Система
уравнений акустики как пример
системы уравнений, инвариантной
относительно вращений. Определение
инвариантности системы уравнений.
Запись инвариантных систем с
помощью спинорных полиномов.
Спинорные операторы $\Delta_+$, $\Delta_-$ и
$\Delta_0$ как аналоги операторов grad, div
и rot. Условие инвариантности в виде
соотношений между
инфинитезимальными операторами и
матричными коэффициентами.
§ 23. Разделение
переменных в уравнениях акустики
Операторная запись уравнений.
Задача отыскания решений в виде
произведения функций от времени,
угловых переменных и радиуса.
Обыкновенные дифференциальные
уравнения для функций от радиуса.
Полное решение в стационарном
случае. Решение обыкновенных
дифференциальных уравнений в
нестационарном случае при помощи
функций Бесселя.
Список литературы
Настоящая книга возникла из моих лекций, которые по просьбе С. Т. Беляева (в то время ректора Новосибирского государственного университета)я включил в читавшийся на физическом факультете НГУ курс уравнений математической физики. По материалу этих лекций в 1978-79 гг. в Новосибирском университете были изданы два учебных пособия. Впоследствии, в конце 80-х годов из этих пособий была составлена и передана в издательство Новосибирского университета книга, издание которой не удалось осуществить из-за начавшейся "перестройки". Тем не менее рукописный вариант настоящей книги использовался в учебном процессе, например, в Московском физико-техническом институте.
При составлении текста настоящего учебного пособия было решено включить в него дополнительный не излагавшийся на лекциях материал, посвященный обобщенным сферическим функциям и их использованию в процедуре разделения переменных. Предварительный вариант соответствующей главы был написан Т. Ю. Михайловой и был основан на специально построенных бесселевых сферических функциях. При редактировании текста стало ясно, что материал этой главы в предложенном изложении не может быть включен в учебное пособие из-за незавершенности положенных в основу разработок и из-за характера изложения, отличающегося от принятого в книге стиля лекционных конспектов.
Это обстоятельство потребовало выработки приемлемой концепции продлившейся более года в дискуссиях обоих авторов. Разработанная во время этих обсуждений точка зрения несколько отлична от принятой в известных авторам публикациях и приводит к другой системе сферических вектор-функций. Излагая эту точку зрения, я написал §16-20, в которых дается обоснование этой системе, и §22, 23 о применении таких сферических функций в процедуре разделения переменных. Формулы и задачи к этим параграфам подготовлены Т. Ю. Михайловой. Аналогично §16-20 и 22, 23 на основе предварительного варианта Т. Ю. Михайловой мною был написан также окончательный текст §21. К сожалению, из-за ограничений на объем и сроки, а также ввиду необходимости существенной коррекции теория бесселевых сферических функций не включена в настоящее издание, хотя изложение этой теории естественно должно было бы следовать непосредственно за §23. Надеюсь, что Т. Ю. Михайлова найдет возможность завершить и опубликовать начатые ею построения шаровых бесселевых функций, специально приспособленных для решения инвариантных систем уравнений с постоянными коэффициентами.
Отбор лекционного материала первоначально основывался на хорошо известных монографиях [1-3] и на моем личном опыте, связанным с применением метода сферических гармоник в теории ядерных реакторов. Использование символов Редже при изложении коэффициентов Клебша-Гордана возникло после знакомства с работой Шелепина [4].
При подготовке этой книги и предшествовавших первой главе препринтов мне очень помогли преподаватели, проводившие по моему курсу семинарские занятия. Особенно я должен отметить роль Е. В. Золотаревой, проявившей инициативу в подборе и коллекционировании задач для вводной части лекционного материала. В дальнейшем к ней присоединилась Т. Ю. Михайлова. Записанные ею лекции были мною переработаны для уже упоминавшихся препринтов. Она также подобрала и сформулировала многочисленные задачи, в основном в гл. 2 и 3.
Подготовленные для издательства машинописные варианты книги получили самостоятельное хождение. Использование этих лекций и интерес к ним (высказанный в частности, Б. В. Пальцевым и И. А. Чубаровым) поддержали меня в решении спустя многие годы вернуться к рукописи и довести ее до завершения. Как и с другими моими книгами последних лет, Т. Н. Рожковская проводила большую работу по редактированию и обработке рукописных текстов и многочисленных правок. А. В. Кажихов и Е. В. Мамонтов, а также В. И. Костин и и Д. Г. Бакшеев сделали ряд замечаний по заключительному тексту рукописи; многие из этих замечаний были учтены.
И в заключение считаю необходимым отметить положительное значение для развития математики активной деятельности издательства Научная книга (НИИ МИОО НГУ), с которым меня связывает тесное и плодотворное сотрудничество.
С. К. Годунов
Академгородок
Новосибирск
12 марта, 1998
