Успенский С.В., Демиденко Г.В., Перепелкин В.Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984, 224 с.
|
|
|
В монографии изложены теория вложений пространств дифференцируемых функций и некоторые приложения к дифференциальным уравнениям, в частности результаты авторов по теории следов для неизотропных классов функций и разрешимости смешанных краевых задач в квадранте для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.
Книга предназначена для специалистов в области математического анализа и дифференциальных уравнений.
Введение
Глава 1. Теоремы вложения для неизотропных пространств Соболева
§ 1.1. Некоторые
сведения из функционального
анализа
§ 1.2. Средние функции
§ 1.3. Обобщенные производные
§ 1.4. Классы областей
§ 1.5. Интегральное представление
функций из пространств $W^l_p$
Соболева
§ 1.6. Преобразование Фурье
суммируемых функций
§ 1.7. Некоторые свойства
пространств $W^l_p(g)$ Соболева
§ 1.8. Теоремы вложения для
пространств $W^l_p(g)$ Соболева
§ 1.9. Граничные свойства классов
Соболева на плоских многообразиях
§ 1.10. Интегральное представление
классов $B^r_p$ Бесова
§ 1.11. О продолжении функций с
плоских многообразий
§ 1.12. О вполне непрерывности
оператора вложения
Глава 2. О следах функций из неизотропных пространств $W^{l_1,l_2}_p(E_2)$ Соболева на одномерных многообразиях (нерегулярный случай)
§ 2.1.
Определения. Основные результаты
§ 2.2. Некоторые вспомогательные
утверждения
§ 2.3. Следы функций на кривых,
принадлежащих классу Гельдера
§ 2.4. Некоторые свойства функций,
суммируемых с весом
§ 2.5. Доказательство основных
теорем
Глава 3. Общие смешанные краевые задачи в квадранте для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной
§ 3.1. Некоторые
определения и примеры
§ 3.2. Формулировка теорем о
корректной разрешимости смешанных
задач для обобщенного уравнения
Соболева (случай $\alpha_0 = 0$)
§ 3.3. Решение смешанной задачи для
уравнений с постоянными
коэффициентами
§ 3.4. Доказательство
вспомогательной теоремы
§ 3.5. Решение смешанной задачи для
уравнений с переменными
коэффициентами
§ 3.6. Смешанные краевые задачи для
обобщенных уравнений Соболева
(случай $\alpha_0 > 0$)
§ 3.7. Смешанные задачи в квадранте
для систем уравнений
неклассического типа
§ 3.8. Краевые задачи в
полупространстве для
квазиэллиптических уравнений
§ 3.9. О поведении на бесконечности
решений одной задачи Соболева
§ 3.10. Уравнения малых колебаний
вращающейся жидкости
§ 3.11. $L_p$-оценки решений краевых
задач, некоторые обобщения и
приложения
§ 3.12. Библиографические замечания
Литература
В работах С. Л. Соболева было введено понятие обобщенной производной и рассмотрены классы функций,имеющих суммируемые в $L_p$ обобщенные производные до определенного порядка. Для этих классов функций,получивших название пространств $W^l_p$, им была разработана теория вложений классов, нашедшая многочисленные приложения в теории дифференциальных уравнений, прикладной математике и механике.
Теория вложения возникла в связи с решением ряда задач математической физики. Развитие теории дифференциальных уравнений требовало расширить класс функций, среди которых ищется решение уравнения. Выход за рамки классических решений различных задач математической физики приводит в свою очередь к необходимости изучения свойств вводимых пространств обобщенных функций. В целом типичная ситуация может быть описана следующим образом: на достаточно широкой совокупности функций вводится семейство норм, зависящих от некоторых параметров, так или иначе характеризующих свойства гладкости и свойства суммируемости функций. Задача состоит в том, чтобы из принадлежности функции одному из порождаемых рассматриваемыми нормами функциональных пространств вывести принадлежность ее другим. С точки зрения функционального анализа речь идет об изучении оператора вложения одного нормированного пространства в другое.
Теория вложений получила дальнейшее развитие в многочисленных работах как советских, так и зарубежных математиков и представляет бурно развивающееся направление современного анализа с разнообразными приложениями. Особенно большой вклад в становление теории внесла школа С. М. Никольского: введены и изучены различные классы функций, такие как классы $H$ и $B$, пространства $L^r_p$ с лиувиллевскими производными, весовые классы функций и некоторые другие. Теория этих классов с различными приложениями к дифферент циальным уравнениям и кубатурным формулам достаточно полно изложена в монографиях С. Л. Соболева [2, 7], С. М. Никольского [4, 5], О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1], X. Трибеля [1], R. A. Adams [1],И. Стейна [1], И. Берга, И. Лёфстрёма [1],В. Г. Мазьи [4).
В монографии рассмотрена теория неизотропных классов $W^l_p$ Соболева, которая затем используется при исследовании общих сметанных краевых задач для уравнений с частными производными, не разрешенных относительно старшей производной.
Монография состоит из трех глав. В первой изложены основные теоремы для пространств $W^l_p$, рассмотрены граничные свойства функций на плоских многообразиях, установлены мультипликативные оценки, а также теоремы о вполне непрерывности оператора вложения. В гл. 2 подробно исследуются граничные свойства неизотропных классов $W^l_p$ при $n=2$ на гладких многообразиях. Полученные здесь необходимые и достаточные условия потребовали введения новых весовых классов Бесова и рассмотрения специальных проекционных операторов на пространстве следов. Эти результаты принадлежат авторам и были опубликованы только в журнальной литературе. Основным аппаратом при исследовании свойств классов $W^l_p$ является метод интегральных представлений, идущий от работ С. Л. Соболева. В монографии используется интегральное представление функций В. П. Ильина и О. В. Бесова. На его основе и устанавливаются все теоремы вложения для классов $W^l_p$.
В третьей главе исследованы общие смешанные задачи для одного класса уравнений с переменными коэффициентами. В этот класс, как частный случай, входят различные уравнения математической физики, полученные при линеаризации системы Навье-Стокса. Наиболее известными из них являются: уравнение С. Л. Соболева
$$\frac{\partial^2}{\partial t^2} \Delta u + \frac{\partial^2}{\partial x^2_n}u = 0$$
- результат исследования задачи о малых колебаниях вращающейся идеальной жидкости, уравнение
$$\left(\frac{\partial}{\partial t} - \nu \Delta\right)^2 \Delta u + \frac{\partial^2}{\partial x^2_n}u = 0$$
малых колебаний вращающейся вязкой жидкости, уравнение внутренних волн
$$\frac{\partial^2}{\partial t^2} \Delta u + N(x) \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2_1} + \frac{\partial^2}{\partial x^2_2}\right) u = 0$$
и др.
Для рассматриваемого класса уравнений с переменными коэффициентами построена общая теория смешанных краевых задач в четверти пространства, определены условия корректной разрешимости в весовых соболевских классах, изучены асимптотические свойства решений некоторых задач при $t \to \infty$. Основным аппаратом исследования краевых задач является метод интегрального представления решения, который позволяет установить точные априорные оценки. Помещенные здесь результаты являются новыми и принадлежат в основном авторам монографии.
Книга предназначается для математиков, специализирующихся в области математического анализа и дифференциальных уравнений. Первая ее часть может рассматриваться как введение в теорию вложений для неизотропных классов $W^l_p(g)$, она доступна для студентов старших курсов вузов, аспирантов, а также для специалистов из смежных областей математики, желающих ознакомиться с теоремами вложения для пространств Соболева.
Тематика книги, основные методы исследований базировались на работах С. Л. Соболева, которому авторы благодарны за многочисленные беседы и обсуждение помещенных здесь результатов.
