Демиденко Г.В. Введение в теорию соболевских пространств. Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1995, 111 с.
|
|
|
Излагаются некоторые сведения из теории соболевских пространств $W^l_p$, необходимые при изучении курсов по дифференциальным уравнениям с частными производными и уравнениям математической физики. Подробно обсуждается понятие обобщенной производной. Доказываются теоремы вложения. Изучаются основные свойства операторов усреднения, Фурье, Лапласа и псевдодифференциальных операторов.
Предназначено для студентов и аспирантов, специализирующихся в областях математического анализа и дифференциальных уравнений с частными производными.
Введение
Глава 1. Некоторые сведения из анализа
§ 1. Основные
термины и обозначения
§ 2. Средние функции
§ 3. Преобразование Фурье
§ 4. Преобразование Лапласа
Глава 2. Соболевские пространства
§ 5. Обобщенные
производные
§ 6. Пространства Соболева $W^l_p$ и
$\stackrel{0}{W}^l_p$
§ 7. Продолжение функций
§ 8. Операторы Фурье и Лапласа в
пространствах $W^l_2$
§ 9. Теоремы вложения для
пространств $W^l_2$
§ 10. Следы функций из пространства
$W^l_2$
§ 11. Псевдодифференциальные
операторы в пространствах $W^l_2$
Литература
В работах С.Л.Соболева было введено понятие обобщенной производной и рассмотрены пространства функций, имеющих суммируемые в $L_p$ обобщенные производные до порядка $l$. Такие пространства получили название соболевских пространств $W^l_p$.
Теория соболевских пространств представляет бурно развивающееся направление современного анализа с многочисленными приложениями в дифференциальных уравнениях, уравнениях математической физики, вычислительной математике. В частности, без этой теории немыслимо изложение современных результатов по теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Поэтому начинающему исследователю, решившему попробовать свои силы в тех областях математики и механики, которые связаны с дифференциальными уравнениями, можно посоветовать овладеть элементами теории соболевских пространств еще до начала специализации.
Познакомиться с теорией пространств $W^l_p$ самостоятельно можно уже на младших курсах университета после изучения теории интеграла Лебега. Для этой цели и написано настоящее пособие. Некоторые необходимые сведения из функционального анализа можно прочитать, например, в [3], [4], [8] и ограничиться формулировками теорем или изучить параллельно, не дожидаясь чтения обязательного курса. Для первоначального знакомства с теорией соболевских пространств достаточно прочитать параграфы 1, 2, 5 и 6. Остальные параграфы рекомендуются тем читателям, кто хотел бы получить дополнительно знания о пространствах $W^l_2$, о действиях операторов усреднения, Фурье и Лапласа в $W^l_2$, а также изучить некоторые свойства псевдодифференциальных операторов. Но для более глубокого понимания идей и приобретения собственной точки зрения на предмет желательно еще читать первоисточники (хотя это зачастую непросто). Получить представление о работах С.Л.Соболева по теории пространств $W^l_p$ можно по монографиям [9], [10]. В [9] содержится также его работа 1936 г., в которой заложены основы теории обобщенных функций. Читатели, желающие более глубоко изучить функциональные пространства, могут обратиться к монографиям [1], [5], [6], [9], [10], [13], [14].
Автор выражает искреннюю благодарность И.И.Матвеевой за помощь в работе.
