Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга,1998, 438+xviii с.
|
|
|
В книге излагаются некоторые аспекты теории задачи Коши и смешанных задач для дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Устанавливаются условия разрешимости в весовых соболевских пространствах, доказываются теоремы единственности, выводятся $L_p$-оценки решений. Изучаются асимптотические свойства решений некоторых задач гидродинамики. Основные результаты, приведенные в книге, принадлежат авторам. Некоторые результаты публикуются впервые.
Выход книги приурочен к 90-летию академика С. Л. Соболева. В конце книги приводится знаменитая статья С. Л. Соболева, опубликованная в 1954 г. Эта статья послужила началом систематического изучения уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Данная книга представляет вклад авторов в становление и развитие этого направления в теории дифференциальных уравнений.
Книга предназначена для специалистов в области дифференциальных уравнений, уравнений математической физики и математического анализа. Доступна аспирантам и студентам старших курсов математических специальностей.
Предисловие
Глава 1. Предварительные сведения
§ 1.
Пространства $C$, $C^{\lambda}$, $L_p$, $H^r_p$
§ 2. Средние функции
§ 3. Преобразование Фурье
§ 4. Мультипликаторы
§ 5. Преобразование Лапласа
§ 6. Интегральное представление
функций
§ 7. Обобщенные производные
§ 8. Соболевские пространства
§ 9. Краевые задачи на полуоси для
обыкновенных дифференциальных
уравнений
§ 10. Краевые задачи на полуоси для
систем дифференциальных уравнений
Глава 2. Задача Коши для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной
§ 1. Задачи,
приводящие к уравнениям
соболевского типа
§ 2. Классы уравнений, не
разрешенных относительно старшей
производной
§ 3. Уравнения с обратимым
оператором при старшей производной
§ 4. Уравнения соболевского типа без
младших членов
§ 5. Приближенные решения задачи
Коши для уравнений без младших
членов
§ 6. Оценки приближенных решений
§ 7. Существование и единственность
решения задачи Коши для уравнений
без младших членов
§ 8. Уравнения с переменными
коэффициентами
§ 9. Псевдогиперболические
уравнения
§ 10. Использование уравнений
соболевского типа при решении
одной гиперболической системы
Глава 3. Задача Коши для систем не типа Коши-Ковалевской
§ 1. Примеры
систем не типа Коши-Ковалевской
§ 2. Классы систем не типа
Коши-Ковалевской
§ 3. Задача Коши для систем
соболевского типа
§ 4. Приближенные решения систем
соболевского типа
§ 5. Оценки приближенных решений
систем соболевского типа
§ 6. Разрешимость задачи Коши для
систем соболевского типа
§ 7. Задача Коши для
псевдопараболических систем
§ 8. Параболические системы
§ 9. Приближенные решения
псевдопараболических систем
§ 10. Оценки приближенных решений
псевдопараболических систем
§ 11. Разрешимость задачи Коши для
псевдопараболических систем
§ 12. Задача Коши для
псевдопараболических систем с
младшими членами
§ 13. Псевдопараболические системы с
переменными коэффициентами
Глава 4. Смешанные задачи в четверти пространства
§ 1. Постановки
смешанных краевых задач для
уравнений простого соболевского
типа
§ 2. Теоремы о разрешимости
смешанных задач для уравнений
простого соболевского типа
§ 3. Приближенные решения смешанных
задач для уравнений простого
соболевского типа
§ 4. Свойства контурных интегралов
§ 5. Оценки приближенных решений
неоднородных уравнений простого
соболевского типа
§ 6. Оценки приближенных решений
однородных уравнений простого
соболевского типа
§ 7. Разрешимость смешанных задач
для уравнений простого
соболевского типа
§ 8. Необходимые условия
разрешимости смешанных задач
§ 9. Смешанные краевые задачи для
псевдопараболических уравнений
§ 10. Схема доказательства
разрешимости смешанных задач для
псевдопараболических уравнений
§ 11. Постановки смешанных краевых
задач для систем соболевского типа
§ 12. Приближенные решения смешанных
задач для систем соболевского типа
§ 13. Разрешимость смешанных задач
для систем соболевского типа
§ 14. Смешанные краевые задачи для
псевдопараболических систем
§ 15. Приближенные решения смешанных
задач для псевдопараболических
систем
§ 16. Сходимость приближенных
решений
Глава 5. Качественные свойства решений уравнений соболевского типа
§ 1.
Асимптотическое поведение
некоторых задач гидродинамики
§ 2. Пространства Соболева-Винера
§ 3. Смешанные задачи для уравнений
соболевского типа в цилиндрических
областях
§ 4. Свойства решений первой краевой
задачи для уравнения Соболева
§ 5. Алгебраические моменты решений
уравнения Соболева в специальных
областях
Библиографические комментарии
Список литературы
ПРИЛОЖЕНИЕ
Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики
Настоящая
книга посвящена теории линейных
дифференциальных уравнений и
систем, не разрешенных
относительно старшей производной.
В операторной форме они имеют вид
эволюционных уравнений
$$
{\cal A}_0 D^l_t u + \sum\limits^{l-1}_{k=0} {\cal A}_{l-k} D^k_t
u = f, \eqno(0.1)
$$
где
${\cal A}_0$, ${\cal A}_1,\ldots, {\cal A}_l$ - линейные
дифференциальные операторы по
переменным $x=(x_1,\ldots,x_n)$. Такие
уравнения возникают при решении
различных прикладных задач
гидродинамики, физики атмосферы,
физики плазмы. Классическими
примерами систем вида (0.1) являются
линеаризованная система Навье -
Стокса
$$
v_t - \nu\Delta v + \nabla p = 0, \quad
{\rm div}\, v =0,
$$
система Соболева
$$
v_t - [v, \overline{\omega}] + \nabla p = 0, \quad
{\rm div}\, v =0, \quad
\overline \omega = (0,0,\omega)^t
\eqno(0.2)
$$
и др. К уравнениям вида (0.1)
относятся уравнение Буссинеска
$$
(\sigma^2 \Delta - 1)u_{tt} + \gamma^2 \Delta u = 0,
$$
уравнение внутренних волн
$$
\Delta u_{tt} + N^2(u_{x_1x_1} + u_{x_2x_2}) = 0,
$$
уравнение Соболева
$$
\Delta u_{tt} + \omega^2 u_{x_3x_3} = 0,
\eqno(0.3)
$$
уравнение волн Россби
$$
\Delta u_t + \beta u_{x_2} = 0
$$
и др.
Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, по-видимому, изучались в известной работе Пуанкаре [1] в 1885 г. Затем они рассматривались в некоторых работах математиков и механиков. В первую очередь это было связано с исследованиями конкретных уравнений гидродинамики. Особенно большой интерес к уравнениям вида (0.1) появился в связи с результатами Озеена [1], Одквиста [1, 2], Лере [1, 2], Лере и Шаудера [1], Хопфа [1] по системе Навье-Стокса и исследованиями С. Л. Соболева [7] задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости, проведенными им в 40-е годы (краткие сообщения результатов [7] были опубликованы в [4-6]). В работах [4-9] С. Л. Соболевым изучены задача Коши, первая и вторая краевые задачи для системы (0.2) и уравнения (0.3), сформулированы новые задачи математической физики. Этот цикл работ был первым глубоким исследованием уравнений, не разрешенных относительно старшей производной. Поэтому в литературе система уравнений (0.2) называется системой Соболева, а уравнение (0.3) - уравнением Соболева.
Исследования С. Л. Соболева были продолжены его учениками Р. А. Александряном, Н. Н. Ваханией, Г. В. Вирабяном, Р. Т. Денчевым, Т. И. Зеленяком, В. Н. Масленниковой, С. Г. Овсепяном и др. Хорошо известно также, что после появления работ С. Л. Соболева "... И. Г. Петровский указал на необходимость изучения общих дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной по времени (системы, не принадлежащие типу систем Ковалевской)." (см. О. А. Олейник [1, стр. 27]).
В литературе уравнения вида (0.1) часто называют уравнениями соболевского типа, поскольку именно работы С. Л. Соболева послужили началом систематического изучения таких уравнений.
В настоящее время имеется огромное число теоретических и прикладных работ, посвященных изучению уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Решение некоторых задач для конкретных уравнений и систем содержится в монографиях С. М. Белоносова и К. А. Черноуса [1], С. А. Габова и А. Г. Свешникова [1, 2], Н. Д. Копачевского, С. Г. Крейна и Нго Зуй Кана [1], О. А. Ладыженской [1] и др. Исследования проводились и ведутся в различных направлениях: качественные свойства решений, спектральные задачи, различные постановки краевых задач, численные расчеты. Количество работ по этой тематике все возрастает. И если, например, в 60-е годы Ж.-Л. Лионс и Э. Мадженес в своей монографии [1, стр. 339] писали: "... для операторов вида $\sum\limits^k_{j=0} A_j \frac{d^j}{dt^j}$, где $A_j$ - неограниченные операторы, см. результаты очень частного характера в следующих томах ...", то на сегодняшний день из одних только рефератов опубликованных статей можно было бы составить не один том! Всех авторов, конечно, трудно перечислить. Мы укажем некоторых из них в библиографических комментариях и приведем источники, из которых можно получить более полную информацию об исследованиях в этой области.
Возрастание интереса к уравнениям, не разрешенным относительно старшей производной, обуславливалось необходимостью решения важных прикладных задач, а также естественным стремлением математиков к изучению новых математических объектов. За последние тридцать лет усилиями многих математиков наметились контуры общей теории дифференциальных уравнений и систем вида (0.1). Становлению новой теории в значительной степени способствовали построение теории краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений, а также развитие современного анализа, идеи и методы которого давали необходимый инструмент для исследований.
Построению общей теории краевых задач для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, посвящены работы М. И. Вишика, С. А. Гальперна, А. А. Дезина, Ю. А. Дубинского, А. Г. Костюченко, Г. И. Эскина, Лагнезе, Тинга, Шовалтера и многих других математиков. Изучению краевых задач посвящены отдельные главы монографий Х. Гаевского, К. Грeгера и К. Захариаса [1], Кэрола и Шовалтера [1], С. В. Успенского, Г. В. Демиденко и В. Г. Перепелкина [1].
В бoльшей части работ, посвященных теории краевых задач для уравнений (0.1), рассматривался случай, когда оператор ${\cal A}_0$ при старшей производной являлся эллиптическим. Постановки задач, конечно, имеют свои особенности по сравнению с классическими уравнениями, однако для некоторых классов уравнений установлены результаты о разрешимости задач, которые являются аналогами соответствующих теорем из теории параболических и гиперболических уравнений. Например, это имеет место для задачи Коши в случае, когда символ оператора ${\cal A}_0$ нигде не обращается в нуль (условие невырожденности). Если же это условие на символ нарушается, классических аналогов нет. Впервые это было замечено в работах С. А. Гальперна (см., например, [1, 2]) при построении $L_2$-теории задачи Коши. В частности, им было установлено, что для разрешимости задачи Коши в соболевских пространствах $W^m_2$ нужны дополнительные требования на данные задачи типа условий ортогональности. Аналогичная особенность для смешанных краевых задач в четверти пространства была обнаружена в работах Г. В. Демиденко [1, 2].
В этой книге мы рассматриваем в основном классы уравнений и систем вида (0.1), для которых символы операторов ${\cal A}_0$ не удовлетворяют условию невырожденности. Основная цель монографии - изучение задачи Коши и общих смешанных задач в четверти пространства для таких классов уравнений и систем, а также исследование асимптотических свойств при $t \to \infty$ решений некоторых краевых задач гидродинамики. В частности, мы устанавливаем условия разрешимости рассматриваемых задач, получаем $L_p$-оценки решений, доказываем теоремы единственности в весовых соболевских пространствах. Полученные здесь результаты указывают на существенное отличие теории краевых задач для уравнений вида (0.1) от соответствующих теорий для параболических и гиперболических уравнений. Отметим, что рассматриваемые нами уравнения и системы содержат, в частности, линеаризованную систему Навье-Стокса, систему и уравнение Соболева, системы и уравнения внутренних и гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска, уравнение Буссинеска, уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной, уравнение ионно-звуковых волн и др.
Книга состоит из пяти глав. Первая глава является вспомогательной и содержит некоторые сведения из математического анализа и теории дифференциальных уравнений. Ее цель - заложить основу для понимания всех последующих глав. В ней изложены, в частности, основные свойства операторов усреднения, Фурье, Лапласа, обобщенного дифференцирования. Доказывается интегральное представление суммируемых функций из работ С. В. Успенского [1, 2]. Приводятся сведения о соболевских пространствах, теории мультипликаторов. Мы старались вести изложение замкнутым настолько, чтобы после прочтения этой главы основной материал, содержащийся в гл. 2-5, был доступен аспирантам и студентам старших курсов университетов.
В гл. 2 мы
рассматриваем дифференциальные
уравнения, не разрешенные
относительно старшей производной
$$
L_0(x;D_x)D^l_tu + \sum\limits^{l-1}_{k=0} L_{l-k}(x;D_x) D^k_t u
= f(t,x), x = (x_1,\ldots,x_n),
\eqno(0.4)
$$
где $L_0(x;D_x)$ - квазиэллиптический
оператор в ${\Bbb R}_n$. Проводя
некоторую аналогию с классическими
уравнениями, мы выделяем три класса
уравнений: уравнения простого
соболевского типа, псевдопараболические
уравнения и псевдогиперболические
уравнения. В эту классификацию
попадают все известные в настоящее
время линейные уравнения вида (0.4),
возникающие в прикладных задачах.
Цель главы - изучение задачи Коши
для всех трех классов уравнений.
Разрешимость задачи Коши
исследуется в соболевских
пространствах $W^m_p$ и в более общих
специально построенных весовых
пространствах $W^m_{p,\gamma,\sigma}$ (см. § 4).
Основными результатами являются
доказательство корректности
задачи Коши в некоторых
пространствах шкалы $W^m_{p,\gamma,\sigma}$, а
также получение условий
разрешимости в пространствах $W^m_p$.
Отметим, что для уравнений с
постоянными коэффициентами, не
содержащих младших членов, такими
условиями являются условия
ортогональности $f(t,x)$ некоторым
полиномам по $x$. Число таких условий
конечно и зависит от порядков
уравнений, степени суммируемости $p$
и размерности $n$. Этот результат при
$p=2$ ранее был получен С. А.
Гальперном [1, 2], случай $1 < p < \infty$
исследован Г. В. Демиденко [4]. В
главе обсуждается также вопрос о
влиянии младших членов уравнения
на условия разрешимости. В
последнем параграфе приводится
интересный, на наш взгляд, пример
использования полученных здесь
результатов для изучения одной
гиперболической системы.
В гл. 3 мы
рассматриваем системы
дифференциальных уравнений вида
$$
{\cal A}_0 D_t u + {\cal A}_1(x;D_x)u = f(t,x),
\quad x=(x_1,\ldots,x_n)
\eqno(0.5)
$$
с вырожденной числовой матрицей
${\cal A}_0$, а также системы,
получающиеся добавлением
интегродифференциальных членов
$$
{\cal A}_0 D_t u + {\cal A}_1(x;D_x)u + {\cal
A}_2(x;D_x)\int\limits^t_0 u\,ds = f(t,x).
$$
Эти системы не удовлетворяют
условиям Ковалевской. В литературе
их часто называют системами не
типа Коши - Ковалевской. Здесь мы
выделяем два класса систем: системы
соболевского типа и
псевдопараболические системы.
Эти классы содержат, в частности,
линеаризованную систему Навье -
Стокса, систему Соболева, системы
внутренних волн и
гравитационно-гироскопических
волн в приближении Буссинеска и др.
В этой главе мы изучаем задачу Коши
для обоих классов систем,
устанавливаем условия безусловной
разрешимости в весовых соболевских
пространствах $W^m_{p,\gamma,\sigma}$ и
доказываем корректность. Отметим,
что предлагаемая классификация
систем не претендует на полноту
описания. В отличие от предыдущей
главы рассматриваемые здесь классы
содержат не все линейные системы,
возникающие в приложениях. Хотя
метод исследования допускает
распространение на другие классы,
но их рассмотрение неизбежно
привело бы к существенному
увеличению объема книги.
Глава 4 посвящена изучению смешанных краевых задач в четверти пространства ${\Bbb R}^{++}_{n+1} = \{(t,x): \ t > 0, \ x \in {\Bbb R}^+_n\}$ для уравнений (0.4) и систем (0.5). Мы рассматриваем смешанные задачи для уравнений простого соболевского типа и псевдопараболических уравнений, а также для обоих классов систем из гл. 3. При постановке смешанных задач предполагается выполнение условий типа Лопатинского. В этой главе мы изучаем условия разрешимости смешанных задач в весовых соболевских пространствах, определяемых по аналогии с предыдущими главами, а также исследуем корректность рассматриваемых задач. Условиями разрешимости для уравнений без младших членов являются условия ортогональности правых частей полиномам, аналогичные полученным в гл. 2. Мы показываем, что они близки к необходимым. Впервые условия разрешимости смешанных задач были получены Г. В. Демиденко [1, 2]. Отметим, что результаты по общим постановкам краевых задач для систем стали появляться последние 10-15 лет и в монографической литературе практически не отражены. На наш взгляд, эта глава является наиболее сложной для читателя.
В гл. 5 рассматриваются некоторые аспекты качественной теории уравнений соболевского типа. Здесь излагается метод исследования асимптотических свойств при $t \to \infty$ решений краевых задач в цилиндрических областях. Этот метод предложен С. В. Успенским (см. С. В. Успенский и Е. Н. Васильева [5]) и основан на доказательстве теорем вложений для функциональных пространств Соболева-Винера (см § 1). В этой главе изучаются также асимптотические свойства алгебраических моментов решений первой краевой задачи для уравнения Соболева и поведение при $t \to \infty$ решения задачи Коши для одного модельного уравнения, возникающего при изучении малых колебаний вращающейся сжимаемой жидкости.
Содержание гл. 2 и 3 основано на работах Г. В. Демиденко [4-8, 11, 12]. При написании гл. 4 использованы результаты Г. В. Демиденко [2, 8-12], § 11-13 этой главы содержат результаты из работ Г. В. Демиденко и И. И. Матвеевой [1, 2]. Ряд теорем из гл. 2-4 публикуется впервые. Основные результаты гл. 5 принадлежат С. В. Успенскому и его ученикам. При написании этой главы использовались результаты из работ С. В. Успенского и Е. Н. Васильевой [1-5], С. В. Успенского и Г. В. Демиденко [1].
Коротко о методе исследования краевых задач. Основная идея при изучении краевых задач в гл. 2-4 заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении их оценок в соответствующих нормах. Методы построения приближенных решений и получения $L_p$-оценок решений рассматриваемых здесь задач были предложены в работах Г. В. Демиденко [2, 4, 5]. Подробное описание схемы построения приближенных решений для различных задач изложено в гл. 2, § 5, гл. 3, § 4, 9, гл. 4, § 3, 10, 12, 15. Отметим, что для конструирования приближенных решений предлагается специальная модификация метода Фурье-Лапласа с помощью операторов усреднения. В качестве такого оператора используется усредняющий оператор из работ С. В. Успенского [1, 2] (см. § 6, гл. 1). Отметим, что используемое здесь усреднение функций впервые было применено С.В.Успенским для интегрального представления решений квазиэллиптических уравнений во всем пространстве. Такой подход позволил получить ряд новых результатов о свойствах решений этих уравнений (см. С. В. Успенский [2], С. В. Успенский и Б. Н. Чистяков [1, 2], П. С. Филатов [1, 2], Г. А. Шмырев [1]).
* * *
Мы с благодарностью вспоминаем В. Г. Перепелкина, безвременно ушедшего в 1994 году. Виталий Григорьевич был талантливым ученым и энциклопедически образованным человеком. Первая наша книга была написана в тесном сотрудничестве с ним.
Мы считаем своим приятным долгом отметить, что инициатива написания книги исходила от Т. Н. Рожковской. Мы благодарны ей за моральную поддержку и литературное редактирование текста.
Мы благодарны научному редактору, профессору А. В. Кажихову, внимательно прочитавшему книгу и внесшему ряд полезных предложений и критических замечаний.
Мы признательны И. И. Матвеевой, являющейся первым читателем нашей книги, за большую работу над рукописью, продолжавшуюся около года, а также за многочисленные дискуссии.
Мы выражаем благодарность Е. Н. Васильевой за активное участие при подготовке гл. 5.
Мы должны поблагодарить Российский фонд фундаментальных исследований за поддержку издания нашей книги (грант РФФИ 98-01-14100).
Г.В.Демиденко
С.В.Успенский
Новосибирск, Москва
15 мая, 1998
