|
|
|
Программа курса лекций Я.В. Базайкина "Дифференциальная геометрия", 2012.
Лекция 1 (11 февраля). Плоские кривые: длина дуги, натуральный параметр, кривизна, формулы Френе, задание плоской кривой ее кривизной, примеры.
Лекция 2 (18 февраля). Пространственные кривые: кривизна, кручение, формулы Френе, задание пространственной кривой ее кривизной и кручением, примеры.
Лекция 3 (25 февраля). Различные определения регулярной поверхности, длина кривой на поверхности, первая квадратичная форма.
Теорема Менье, вторая квадратичная форма. Формула Эйлера, главные кривизны и направления,
гауссова кривизна, средняя кривизна и их геометрический смысл.
Примеры: поверхность, заданная как график функции от двух переменных, поверхность вращения, поверхность вращения трактриссы,
ее гауссова кривизна.
Лекция 4 (3 марта). Уравнения Вейнгартена, символы Кристоффеля, их выражение через коэффициенты первой квадратичной формы.
Деривационные уравнения, уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Теорема Бонне о локальном задании поверхности
первой и второй квадратичными формами (без доказательства).
Лекция 5 (10 марта). Теорема Гаусса. Понятие о внутренней геометрии поверхности. Модель геометрии Лобачевского
в верхней полуплоскости, ее символы Кристоффеля, гауссова кривизна. Форма площади поверхности, понятие об ориентации.
Критические и регулярные точки отображения поверхностей. Теорема Сарда (без доказательства).
Лекция 6 (17 марта). Степень отображения регулярных поверхностей. Понятие гомотопии отображения,
независимость степени отображения от гомотопии. Независимость степени от выбора регулярного значения.
Лекция 7 (24 марта). Гауссово отображения. Теорема о якобиане отображения Гаусса (обратный перенос формы площади).
Теорема о связи интеграла от гауссовой кривизны и степени отображения Гаусса. Ковариантное дифференцирование
векторных полей на поверхности.
Лекция 8 (31 марта). Параллельный перенос. Геодезические, локальное существование геодезической. Экспоненциальное
отображение, его свойства.
Лекция 9 (7 апреля). Лагранжиан, функционал действия, понятие вариации пути, экстремали функционала действия.
Уравнения Эйлера-Лагранжа. Геодезические как экстремали функционалов энергии и длины.
Понятие интегрируемости геодезического потока. Примеры: геодезический поток на сфере,
поверхности вращения (интеграл Клеро), плоскости Лобачевского.
Лекция 10 (14 апреля). Полугеодезическая система координат. Геодезическая является кратчайшей кривой,
соединяющей достаточно близкие ее точки.
Лекция 11 (20 апреля). Модели геометрии Лобачевского: в пространстве Минковского, в круге, на верхней полуплоскости,
связь между ними, геодезические в этих моделях.
Лекция 12 (4 мая). Формула Гаусса-Бонне (доказательство локального варианта). Симплициальное разбиение поверхности,
его эйлерова характеристика. Теорема об эйлеровой характеристике поверхности, гомеоморфной кругу.
Лекция 13 (5 мая). Формула Гаусса-Бонне (доказательство общего случая поверхности, гомеоморфной кругу).
Теорема Гаусса-Бонне для замкнутой поверхности. Инвариантность эйлеровой характеристики.
Лекция 14 (12 мая). Метод Картана, форма связности, форма кривизны поверхности.
Структурные уравнения Картана. Понятие индекса векторного поля.
Лекция 15 (19 мая). Теорема Пуанкаре, несуществование гладких ненулевых
векторных полей на сфере. Понятие минимальной поверхности, уравнение минимальной поверхности.
|
