2 ≠ 1,9

На сайте Российской Академии наук дана ссылка на материал в «Российской философской газете» от 26.11.09, где помещена удивительная тирада:

«Поражает фантастическая красота и точность законов физики. Закон всемирного тяготения Ньютона: сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Но почему квадрату, почему в формуле именно двойка, а не, например, 1,9 или, например, не 1,99? И в законе Кулона — то же самое: двойка, и ведь это многократно проверено, проверено до многих знаков. А почему так элегантно выглядят законы электромагнитизма в уравнениях Максвелла? Почему, откуда, отчего это происходит?»

Нельзя не ответить на математическую часть вопроса: «почему в формуле именно двойка, а не, например, 1,9 или, например, не 1,99?». Дело в том, что два землекопа — это не один землекоп и не полтора землекопа, а ровно два. У здорового млекопитающего два глаза, а не 1,9 глаза и не 1,99 глаза. Такая вот безупречная точность и поразительная красота в планировании грунтовых работ и биологии, проверенная бесконечным числом экспериментов. В математике и физике дело обстоит ровно также. Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, а при увеличении радиуса сферы происходит квадратичное увеличение площади. Два тела — это как раз два тела, ни на йоту больше, ни на йоту меньше. В законе обратных квадратов фигурирует вторая степень, а не степень 1,9 и не степень 1,99.

Фейнман писал *:

«Закон тяготения заключается в том, что два тела действуют друг на друга с силой, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо пропорциональна произведению их масс. Математически мы можем выразить этот великий закон формулой F = G(mm'/r²) — некоторая постоянная умножена на произведение двух масс и поделена на квадрат расстояния. Теперь, если я напомню, что под действием силы тело ускоряет своё движение и изменение скорости за секунду обратно пропорционально массе, т. е. скорость меняется тем медленнее, чем больше масса, то я скажу всё, что нужно сказать о законе тяготения. Всё остальное — математические следствия этих двух фактов».

Классическая формулировка закона всемирного тяготения относится строго к двум телам и связана с общими научными установками Ньютона. Та же математическая определенность характерна для созданной им техники дифференциального и интегрального исчислений. Во втором законе Ньютона фигурирует вторая производная, так как речь идет об ускорении. Скорость можно выразить как производную пути, а ускорение — как производную скорости. Повторная производная оказалась второй в порядке сохранения красоты и точности.

Не следует забывать, что помимо целой двойки в законе тяготения Ньютона и законе взаимодействия точечных зарядов Кулона фигурируют необходимые экспериментальные постоянные, а в формуле для площади круга помимо квадрата радиуса участвует элегантная, но трансцендентная константа.

Обсуждая законы Ньютона и Кулона, Фейнман подчёркивал:

«нельзя честно объяснить все красóты законов природы так, чтобы люди восприняли их одними чувствами, без глубокого понимания математики».

Современная математика и дробные производные придумала, да в законах Ньютона они ни к чему. Наука умеет много гитик, но по-прежнему 2 не равно ни 1,9 ни 1,99. «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» связана не в малой мере именно с этими обстоятельствами. Правда, 2 равно 1,999..., где 9 стоит в периоде, с самой что ни на есть абсолютной точностью. Похоже, что некоторые эксперименты именно это и подтверждают.

Математика столь же вариативна как и всё мышление. Математический аппарат подбирается исследователем в рамках изучаемой модели реального или идеального феномена. Никакие дискурсы и никакие опыты внутри и вокруг математики не превращают её в экспериментальную науку вопреки многим противоположным суждениям. Почему, отчего и откуда они исходят в наше время, диву даёшься.

C. Кутателадзе

5 декабря 2009 г.