Рождение теории экстремальных задач обычно связывают с мифической финикийской принцессой Дидоной. Дидоне следовало принять решение о выборе земельного участка для строительства будущего Карфагена. Теперь принято считать, что дело было сведено к изопериметрической задаче — поиску фигуры наибольшей площади при условии, что она ограничена кривой, имеющей наперед заданную длину. Не исключено, что Дидона и её подданные решали практические варианты этой задачи, когда крепость строилась на побережье и часть границы в каком-то виде была предписана. Основание Карфагена принято относить к IX веку до нашей эры, когда евклидовой геометрии не было и в помине, составление земельного кадастра было уделом гарпедонаптов, а обмер участков использовался для принятия управленческих решений. Измерение площадей с помощью натягивания веревок вокруг колышков приводит к выпуклым фигурам. В классе таких фигур решение задачи Дидоны единственно, если фиксированная непустая часть границы представляет собой выпуклую ломаную.
В XX веке принятие решений стало разделом науки. Главной особенностью современных управленческих ситуаций является наличие большого числа противоречивых условий и конфликтующих интересов. Согласование интересов в подобных обстоятельствах представляет собой особую, исключительно сложную гуманитарную проблему, не имеющую кандидатов на единственное решение.
Экстремальные задачи, в которых требуется одновременно оптимизировать многие параметры, относят к векторной или многоцелевой оптимизации. Поиск управлений в подобных ситуациях называют многокритериальным принятием решений. Математический аппарат этих дисциплин в настоящее время не слишком изощрен. Основная часть исследований нашего времени связана с понятием оптимальности в смысле Парето. С формальной точки зрения речь идет о поиске максимального элемента в множестве, составленном из значений всех целей в каждом состоянии, т. е. векторов конечномерного пространства, наделенного покоординатным порядком. Многоцелевые постановки задачи возникли сравнительно недавно, причем вне математики, что объясняет значительный разрыв в сложности и эффективности математических средств, разработанных для одноцелевых и многоцелевых задач. В этой связи представляется целесообразным расширить внутриматематический запас задач векторной оптимизации.
Проще всего начать с задач, использующих понятие оптимальности по Парето. Дело в том, что такие задачи фактически эквивалентны параметрическому семейству одноцелевых задач, которые могут быть исследованы классическими средствами. Например, существует кривая, соединяющая полиномы Лежандра и Чебышева и состоящая из Парето-оптимальных полиномов относительно равномерной и среднеквадратичной метрик. Нетрудно понять, что некоторые физические процессы допускают осмысление в рамках векторной оптимизации. Скажем, эффект Лейденфроста — процесс испарения жидкости в сфероидальном состоянии — можно трактовать как задачу одновременной минимизации площади поверхности и толщины капли данного объема.
Немало геометрически содержательных задач векторной оптимизации допускают решение, которое удается указать достаточно явно в терминах условий на поверхностные функции. В качестве модельных примеров можно привести вполне обозримые решения внешней и внутренней задач Урысона, осложненных условием уплощения в заданном направлении или требованием оптимизации выпуклой оболочки нескольких фигур.
С технической точки зрения дело сводится к параметрическому программированию задач изопериметрического типа со многими ограничениями. Используемая здесь техника функционально-аналитического исследования экстремальных задач выпуклой геометрии не слишком известна, так что её необычные применения могут оказаться полезными при заполнении брешей между исследованиями внутри математики и её приложениями к теории и практике многокритериального принятия решений.
Возвращаясь к Дидоне, допустим, что она знала изопериметрическое свойство круга и была знакома с принципами симметризации, детально разработанными в XIX веке. Хватило бы Дидоне этих знаний для выбора участка? Конечно, нет. В реальной ситуации береговая линия участка земли может иметь очень сложную форму. Снимки побережий принято приводить как наиболее наглядные примеры фрактальности. С теоретической точки зрения свободная граница в плоской задаче Дидоны может быть неспрямляемой, а самое понятие площади, как величины, подлежащей оптимизации, в таком случае далеко неоднозначно. С практической точки зрения ситуация, в которой Дидона должна была принять решение, также была не столь примитивной, как представляется на первый взгляд. При выборе участка Дидона не имела права выходить за пределы территории, контролируемой местным правителем. Ей следовало осуществить выбор участка так, чтобы охватить лагери своих спутников и учесть различные фортификационные соображения. Понятно, такая общность недоступна в математической модели, известной нам как классическая изопериметрическая задача.
Задача Дидоны, вдохновлявшая наших предков, остается таким же интеллектуальным вызовом как кантовские звездное небо и моральный закон.
*
Аннотация доклада на Общеинститутском математическом семинаре 20.03.2009
в Институте математики им. С.Л. Соболева.
Относительно технических подробностей см.
Dido’s Problem and Pareto Optimality
Препринт №217. Институт математики им. С.Л. Соболева (2009) +
Optimization Online.
Available in English
File translated from TEX by TTH, version 3.81.
On 12 Feb 2009, 18:50.
|
English Page |
Russian Page |