Теория и практика экстремальных задач, выбор оптимального управления
в детерминированных и стохастических условиях, многие подходы математической экономики
базируются на фундаментальных идеях функционального анализа, связанных с выпуклостью
и мерой.
Теорема Ляпунова о выпуклости, доказанная в 1940 г. (см. [
1]–[
5]),
занимает особое место в современной математике, поскольку лежит на стыке теории выпуклых
тел и теории меры. Теорема Ляпунова стала отправной точкой многочисленных исследований как в области
векторного интегрирования в рамках математического анализа,
так и в сфере геометрического изучения специальных конечномерных выпуклых тел,
служащих множествами значений безатомных векторных мер.
Удивительность открытия Ляпунова связана с парадоксальным и хрупким балансом
взаимодействия разнообразных конечномерных и бесконечномерных идей.
Эффекты теоремы Ляпунова пропадают или распадаются, если допустить в рассмотрение
недиффузные, или конечно-аддитивные меры, или же меры со значениями в бесконечномерных
пространствах (см., в частности, вторую статью А. А. Ляпунова [
2] и [
20]).
Между тем с геометрической точки зрения в теореме Ляпунова
речь идет об отображении крайних точек некоторого бесконечномерного компактного
выпуклого множества. Именно это обстоятельство обыгрывается в изящном доказательстве
Линденштраусса, найденном в 1966 г. и немало способствовавшем популяризации
теоремы Ляпунова (см. [
18]).
Надо отметить, что в настоящее время известны
доказательства теоремы Ляпунова, основанные только на самых первых фактах
математического анализа (см., в частности, [
10], [
12]). Таково
и весьма элегантное доказательство Росса, найденное в 2005 г. и
использующее только теорему о промежуточных значениях [
24].
Теорема Ляпунова сразу же поставила вопрос об описании тех выпуклых компактов
в конечномерном пространстве, которые служат множествами значений диффузных
мер. В современной геометрической литературе эти компакты получили название
зоноидов. Среди зоноидов выделяются суммы Минковского конечного числа
отрезков —
зонотопы. Зонотопы заполняют выпуклый конус в пространстве выпуклых тел, плотный
в замкнутом множестве всех зоноидов. Впервые (и почти в современном виде) описание множеств
значений векторных мер в теореме Ляпунова было найдено К. И. Чуйкиной
(см. [
6], [
7]). Этот результат был вскоре несколько дополнен и упрощён
Е. В. Гливенко (см. [
8]). Нынешние зонотопы именовались в ту пору
параллелоэдрами.
Крупное дальнейшее продвижение в исследовании множеств значений
векторных мер принадлежит В. А. Залгаллеру и Ю. Г. Решетняку, которые описали зоноиды
как результаты смешения линейных элементов спрямляемой кривой в конечномерном евклидовом
пространстве в 1954 г. (см. [
9]).
В этой же работе было предложено новое доказательство теоремы Ляпунова и
описаны зонотопы как те и только те выпуклые многогранники, чьи двумерные грани имеют центры
симметрии. К сожалению, эти работы остались практически неизвестными на Западе. Аналогичные
результаты были получены Болкером лишь через пятнадцать лет в 1969 г. (см. [
11]).
Важно отметить исключительную роль теоремы Ляпунова в обосновании
«бэнг-бэнг» принципа в теории оптимального управления.
Этот принцип утверждает, что оптимальные управления осуществляются
крайними точками множества допустимых управлений.
Смысл бэнг-бэнг принципа состоит в том, что в условиях ограниченных ресурсов для
оптимального перехода управляемой системы из одного состояния
в другое за минимальное время
необходимо использовать крайнее «бэнг-бэнг» управление. Иначе говоря,
если у системы есть оптимальное управлениe, у нее есть оптимальное «бэнг-бэнг»
управление [
15, p. 47]. Об этом см., например,
[
14], [
16], [
17],[
19],[
21].
В заключение отметим, что история теоремы Ляпунова в рамках функционального анализа
несколько отражена в [
23]. О месте этой теоремы и исследованиях по её обобщению
в рамках теории меры см. [
22]. Относительно зоноидов см., в частности, [
13].
Литература
- [1]
Ляпунов А. А.,
О вполне аддитивных вектор-функциях. I//
Изв. АН СССР, Сер. матем., 4, 465–478 (1940).
- [2]
Ляпунов А. А.,
О вполне аддитивных вектор-функциях. II// Изв. АН СССР, Сер. матем.,
1946, 10, 277–279 (1946).
- [3]
Ляпунов А. А.,
О вполне аддитивных вектор-функциях. III (Об одной задаче Ю.Ч.Неймана) //
Проблемы кибернетики, вып. 12, 165–168 (1964).
- [4]
Ляпунов А. А.,
О вполне аддитивных вектор-функциях// Проблемы кибернетики, вып. 12, 169–179 (1964).
- [5]
Ляпунов А. А.,
Вопросы теории множеств и теории функций. М: Наука, 1979.
- [6]
Чуйкина К. И.,
Об аддитивных вектор-функциях// Учен. зап. Горьк. пед. ин-та, 16,
Физ.-мат. ф-т, 3, 97–126 (1951).
- [7]
Чуйкина К. И.,
Об аддитивных вектор-функциях.// Докл. АН СССР, 76, 801–804 (1951).
- [8]
Гливенко Е. В.,
О множествах значений аддитивных вектор-функций//
Матем. сб., 34(76), 407–416, (1954).
- [9]
Залгаллер В.А., Решетняк Ю.Г.,
О спрямляемых кривых, аддитивных вектор-функциях и смешении отрезков//
Вестн. ЛГУ, 2, 45–65 (1954).
- [10]
Artstein Z.
“Yet another proof of the Lyapunov convexity theorem,”
Proc. Amer. Math. Soc., 108:1, 89–91 (1990).
- [11]
Bolker E.,
“A class of convex bodies,” Trans. Amer. Math. Soc., 145, 323–345 (1969)
- [12]
Elton J., Hill Th.
“A generalization of Lyapounov's convexity theorem
to measures with atoms,” Proc. Amer. Math. Soc., 99:2, 297–304 (1987).
- [13]
Goodey P., Weil W.,
“Zonoids and generalisations,” In: Нandbook of Convex Geometry, Vol. В.,
North-Holland, Amsterdam etc., 1296–1326 (1993).
- [14]
Halkin H.,
“A generalization of LaSalle’s bang-bang principle,”
SIAM Journal on Control
and Optimization, 2, 199–202 (1965).
- [15]
Hermes H., LaSalle J. P.,
Functional Analysis and Time Optimal Control. Academic Press,
New York–London, 1969.
- [16]
LaSalle J. P.,
“The time optimal control problem,” In: Contributions to the Theory of Non-Linear
Oscillations, Vol. 5, Ann. Math. Studies 45, 1–24, Princeton Univ. Press, 1960.
- [17]
Levinson N.,
“Minimax, Liapunov, and ‘bang-bang,’”
J. Diff. Equat. 2, 218–241 (1966).
- [18]
Lindenstrauss J.,
“A short proof of Liapounoff’s convexity theorem,” J. Math. Mech.,
15, 971–972 (1966).
- [19]
Neustadt L. W.,
“The existence of optimal control in the absence of convexity,”
J. Math. Anal. Appl., 7, 110–117 (1963).
- [20]
Nunke R. J., Savage L. J.,
“On the set of values of a nonatomic,
finitely additive, finite measure,” Proc. Amer. Math. Soc., 3:2,
217–218 (1952).
- [21]
Olech C.
“Extremal solutions of a control system,”
J. Diff. Eq., 2, 74–101 (1966).
- [22]
Pap E. (Ed.)
Handbook of Measure Theory. Vol. 1 and 2. North Holland, Amsterdam (2002).
- [23]
Pietsch A.,
History of Banach Spaces and Linear Operators.
Birkhäuser, Boston etc. (2007).
- [24]
Ross D.,
“An elementary proof of Lyapunov’s theorem,” Amer. Math.Monthly
112:7, 651–653 (2005).
© Кутателадзе С. С. 2011