Сергей Львович Соболев — представитель российской математической школы, вошедший в список учёных, чье творчество создало главные интеллектуальные сокровища мировой культуры.
Математика изучает формы мышления. В самом общем смысле дифференцирование — определение тенденций, а интегрирование — предсказание будущего по тенденциям. Современное человечество не мыслит себя без интегрирования и дифференцирования. Дифференциальное и интегральное исчисление открыто Ньютоном и Лейбницем. Флюксии Ньютона и монады Лейбница сделали их авторов первопроходцами классического анализа. Используя понятия, предложенные Ньютоном и Лейбницем, Эйлер взрастил и выпестовал новую математику переменных величин, совершив немало гениальных открытий и создав неисчерпаемую собственную коллекцию поразительных формул и теорем. Двести лет математический анализ оставался исчислением Ньютона, Лейбница и Эйлера. В XX веке классическое исчисление превратилось в теорию распределений. Ключевыми объектами современного анализа стали интеграл в смысле Лебега и производная в смысле Соболева, определенные для самых общих зависимостей, неподвластных операциям классического дифференцирования и интегрирования. Лебег и Соболев вошли в историю, предложив новые подходы к интегралу и производной, существенно расширив сферы влияния и области приложений математики.
Исторические фигуры и открытия достойны исторических параллелей и анализа. Математический дар передается от учителя к ученику. Эта чередующаяся цепь преемственных поколений — материальный носитель математической школы. Характеризуя научные школы, Лузин отмечал, что «чем старее школа, тем она ценнее. Ибо школа есть совокупность накопленных веками творческих приемов, традиций, устных преданий об отшедших учёных или ныне живущих, их манере работать, их взглядах на предмет исследований. Эти устные предания, — накапливающиеся столетиями и не подлежащие печати или сообщению тем, кого считают неподходящим для этого — эти устные предания суть сокровища, действенность которых трудно даже представить себе и оценить... Если искать каких-либо параллелей или сравнений, то возраст школы, накопление ею традиций и устных преданий, есть не что иное, как энергия школы, в неявной форме». Соболев принадлежит к школе, ведущей родословную от Леонарда Эйлера (1707–1783).
Человек — объект физический и может быть отчасти представлен своей мировой линией в 4-мерном пространстве-времени Минковского. «Математика не знает рас... Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну» — констатировал Гильберт на Конгрессе в Болонье в 1928 году. Никакое государство физическим объектом не является. В пространстве-времени страну можно отождествить с воронкой мировых линий проживающих в ней людей. Большая часть мировой линии Эйлера принадлежит России. Нет ни швейцарской, ни русской математики, но есть математика в России, есть отечественная математическая традиция и отечественная математическая школа. Уроженец Швейцарии, Эйлер нашел в России свою вторую Родину и покоится в земле Петербурга. Да Винчи от математики, он давно стал неотъемлемой частью русского духа. Наши соотечественники с гордостью считают Эйлера основателем российской математической школы.
Усилиями Эйлера Петербург стал математической столицей мира восемнадцатого века. Даниэл Бернулли писал Эйлеру: «Я не могу Вам довольно выразить, с какою жадностью повсюду спрашивают о Петербургских мемуарах». Речь идет о знаменитых «Комментариях Санкт-Петербургской Академии», ставших ведущим научным журналом той эпохи. Это издание не раз меняло свое название и превратилось со временем в Известия РАН (серия математическая). Журнал Петербургской Академии наук поместил 473 статьи Эйлера, которые поочередно выходили в свет в течение многих лет после кончины Эйлера вплоть до 1830 года.
В начале восемнадцатого века центр математической мысли переместился во Францию, где творили Лаплас, Пуассон, Фурье и Коши. Идеи новых творцов математики воспринял М. В. Остроградский, учившийся в Париже после лишения законно полученного аттестата об окончании Харьковского Императорского университета. В 1825 году Коши в одной из своих статей характеризовал Остроградского как молодого человека, одаренного большой проницательностью и весьма сведущего в исчислении бесконечно малых. Репутация, приобретенная Остроградским во Франции, и ряд мемуаров, представленных Академии наук, способствовали признанию его заслуг в России. Уже в 1832 году в возрасте 32 лет Остроградский был избран ординарным академиком по прикладной математике. Он быстро становится признанным лидером российской математической школы.
Остроградский прекрасно понимал значение Эйлера для отечественной науки. Именно он энергично ставил вопрос об издании наследия Эйлера. В пояснительной записке по этому поводу Остроградский писал: «Эйлер создал современный анализ, обогатив его один сам более, чем все его предшественники вместе, и сделал из него самый могущественный инструмент ума человеческого». Издание в 28 томах предполагалось осуществить в течение 10 лет, но средств у Академии наук на это не нашлось ни в то время, ни по сей день...
К московской ветви школы Остроградского относятся Н. Д. Брашман, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин. К петербургской — П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, А. Н. Крылов. Многие другие математики и механики России испытали на себе влияние Остроградского.
Среди учеников Чебышева были А. Н. Коркин и А. А. Марков, у которых учился Н. М. Гюнтер, ставший научным руководителем дипломной работы Соболева. Вторым своим учителем Соболев считал В. И. Смирнова, ученика В. А. Стеклова, ученика А. М. Ляпунова. Такова блестящая цепь научного генеалогического древа Соболева.
Архив Эйлера принадлежит России, однако издание собрания сочинений Эйлера было осуществлено в Швейцарии. В его подготовке живо участвовали А. М. Ляпунов, А. Н. Крылов, А. А. Марков и В. И. Смирнов. Лучшие умы России старались сохранить идейное наследие Эйлера, которого В. И. Смирнов характеризовал, перефразируя фразу Гёте о Моцарте: «Эйлер всегда останется чудом, которое не подлежит объяснению».
Исследования Соболева связаны с переосмыcлением понятия решения дифференциального уравнения. Соболев предложил решать задачу Коши в пространстве функционалов, то есть отказаться от стандартного понимания решения как функции. Фактически Соболев стал считать дифференциальное уравнение решенным в тех случаях, когда нам доступны всевозможные интегральные характеристики поведения процесса. При этом решение как функция времени может быть не только неизвестным, но и просто отсутствующим. Таким образом, речь шла о качественно новом понимании ключевых принципов научного прогнозирования.
Эйлер еще в 1755 году дал универсальное определение функции, которое почти двести лет воспринималось как наиболее общее и совершенное. В своем знаменитом курсе дифференциального исчисления он писал: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменениям, то первые называются функциями вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других. Итак, если x обозначает переменное количество, то все количества, которые как-либо зависят от x, т. е. определяются им, называются его функциями».
Обобщенные производные Соболева под эйлерово понятие функции не подпадают. Дифференцирование, предложенное Соболевым, опирается на новое понимание взаимозависимости математических величин. Обобщенная функция определяется неявно с помощью интегральных характеристик своих воздействий на всех представителей заранее выбранного класса пробных функций.
Открытия Ньютона и Лейбница подытожили многовековую предыторию дифференциального и интегрального исчисления, открыв дорогу новым исследованиям. Достижения Лебега и Соболева продолжили размышления их гениальных предшественников и осветили путь математиков нашего времени. Соболев был среди пионеров применения функционального анализа к математической физики, создав свою теорию в 1935 году. В работах Лорана Шварца, независимо пришедшего к тем же идеям спустя целое десятилетие, новое исчисление стало общедоступным, представ в виде элегантной, мощной и чрезвычайно прозрачной теории распределений, утилизировавшей многие прогрессивные идеи алгебры, геометрии и топологии.
Дифференциальное исчисление семнадцатого века неотделимо от общих воззрений классической механики. Теория обобщенных функций связана с механикой квантовой. Следует особо подчеркнуть, что квантовая механика не является простым обобщением классической механики. Квантовая механика представляет научное мировоззрение, основанное на новых законах. Классические детерминизм и непрерывность уступили место квантованию и неопределенности. В XX веке человечество вышло на совершенно иной уровень понимания природных процессов.
Аналогичным образом дело обстоит и с математическими теориями современности. Логика наших дней не является обобщением логики Аристотеля. Геометрия банаховых пространств не служит обобщением евклидовой планиметрии. Теория распределений, ставшая исчислением нашего времени, коренным образом преобразила всю технологию математического описания физических процессов с помощью дифференциальных уравнений.
Соболев слышал будущее и дарил людей своими пространствами. Его открытия стали триггером революционных изменений математики, счастливыми свидетелями и участниками прогресса которой мы являемся. Последняя серия математических работ Соболева была посвящена тонким свойствам корней полиномов Эйлера...
С. Кутателадзе
8 января 2008 г.
| English Page |
Russian Page |