СОБОЛЕВ ИЗ ШКОЛЫ ЭЙЛЕРА

Сергей Львович Соболев — представитель российской математической школы, вошедший в список учёных, чье творчество создало главные интеллектуальные сокровища мировой культуры. Математика изучает формы мышления. В самом общем смысле дифференцирование — определение тенденций, а интегрирование — предсказание будущего по тенденциям. Современное человечество не мыслит себя без интегрирования и дифференцирования. Дифференциальное и интегральное исчисление открыто Ньютоном и Лейбницем. Флюксии Ньютона и монады Лейбница сделали их авторов первопроходцами классического анализа. Используя понятия, предложенные Ньютоном и Лейбницем, Эйлер взрастил и выпестовал новую математику переменных величин, совершив немало гениальных открытий и создав неисчерпаемую собственную коллекцию поразительных формул и теорем. Двести лет математический анализ оставался исчислением Ньютона, Лейбница и Эйлера. В ХХ веке классическое исчисление превратилось в теорию распределений. Ключевыми объектами современного анализа стали интеграл в смысле Лебега и производная в смысле Соболева, определенные для самых общих зависимостей, неподвластных операциям классического дифференцирования и интегрирования. Лебег и Соболев вошли в историю, предложив новые подходы к интегралу и производной, существенно расширив сферы влияния и области приложений математики. Исторические фигуры и открытия достойны исторических параллелей и анализа. Математический дар передаётся от учителя к ученику. Эта чередующаяся цепь преемственных поколений — материальный носитель математической школы. Характеризуя научные школы, Лузин отмечал, что «чем старее школа, тем она ценнее. Ибо школа есть совокупность накопленных веками творческих приемов, традиций, устных преданий об отшедших учёных или ныне живущих, их манере работать, их взглядах на предмет исследований. Эти устные предания, — накапливающиеся столетиями и не подлежащие печати или сообщению тем, кого считают неподходящим для этого — эти устные предания суть сокровища, действенность которых трудно даже представить себе и оценить... Если искать каких-либо параллелей или сравнений, то возраст школы, накопление ею традиций и устных преданий, есть не что иное, как энергия школы, в неявной форме»¹. Соболев принадлежит к школе, ведущей родословную от Леонарда Эйлера (1707–1783)².

Эйлер и Россия

Человек — объект физический и может быть отчасти представлен своей мировой линией в 4-мерном пространстве-времени Минковского. «Математика не знает рас... Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну» — констатировал Гильберт на Конгрессе в Болонье в 1928 г.³. Никакое государство физическим объектом не является. В пространстве-времени страну можно отождествить с воронкой мировых линий проживающих в ней людей. Бóльшая часть мировой линии Эйлера принадлежит России. Нет ни швейцарской, ни русской математики, но есть математика в России, есть отечественная математическая традиция и отечественная математическая школа. Уроженец Швейцарии, Эйлер нашел в России свою вторую Родину и покоится в земле Петербурга. Да Винчи от математики, он давно стал неотъемлемой частью русского духа. Наши соотечественники с гордостью считают Эйлера основателем российской математической школы. Усилиями Эйлера Петербург стал математической столицей мира XVIII века. Даниэл Бернулли писал Эйлеру: «Я не могу Вам довольно выразить, с какою жадностью повсюду спрашивают о Петербургских мемуарах»⁴. Речь идет о знаменитых «Комментариях Санкт-Петербургской Академии», ставших ведущим научным журналом той эпохи. Это издание не раз меняло свое название и превратилось со временем в Известия РАН (серия математическая). Журнал Петербургской Академии наук поместил 473 статьи Эйлера, которые поочередно выходили в свет в течение многих лет после кончины Эйлера вплоть до 1830 г.

От Остроградского до Соболева

В начале XIX века центр математической мысли переместился во Францию, где творили Лаплас, Пуассон, Фурье и Коши. Идеи новых творцов математики воспринял М. В. Остроградский, учившийся в Париже после лишения законно полученного аттестата об окончании Харьковского Императорского университета. В 1825 г. Коши в одной из своих статей характеризовал Остроградского как молодого человека, одаренного большой проницательностью и весьма сведущего в исчислении бесконечно малых⁵. Репутация, приобретённая Остроградским во Франции, и ряд мемуаров, представленных Академии наук, способствовали признанию его заслуг в России. Уже в 1832 г. в возрасте 32 лет Остроградский был избран ординарным академиком по прикладной математике. Он быстро становится признанным лидером российской математики. Остроградский прекрасно понимал значение Эйлера для отечественной науки. Именно он энергично ставил вопрос об издании наследия Эйлера. В пояснительной записке по этому поводу Остроградский писал: «Эйлер создал современный анализ, обогатив его один сам более, чем все его предшественники вместе, и сделал из него самый могущественный инструмент ума человеческого»⁶. Издание в 28 томах предполагалось осуществить в течение 10 лет, но средств у Академии наук на это не нашлось ни в то время, ни по сей день... К московской ветви школы Остроградского относятся Н. Д. Брашман, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин. К петербургской — П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, А. Н. Крылов. Многие другие математики и механики России испытали на себе влияние Остроградского. Среди учеников Чебышева⁷ были А. Н. Коркин и А. А. Марков, у которых учился Н. М. Гюнтер, ставший научным руководителем дипломной работы Соболева. Вторым своим учителем Соболев считал В. И. Смирнова, ученика В. А. Стеклова, ученика А. М. Ляпунова. Такова блестящая цепь научного генеалогического древа Соболева⁸. Архив Эйлера принадлежит России, однако издание собрания сочинений Эйлера было осуществлено в Швейцарии. В его подготовке живо участвовали А. М. Ляпунов, А. Н. Крылов, А. А. Марков и В. И. Смирнов. Лучшие умы России старались сохранить идейное наследие Эйлера, о котором В. И. Смирнов, перефразируя фразу Гëте о Моцарте, писал: «Эйлер всегда останется чудом, которое не подлежит объяснению»⁹. Уже увидели свет 60 томов Leonhardi Euleri Opera Omnia, а завершить 72-томное издание намечено в этом году.

Математика России в 1930 годы

Великие открытия — вехи неизбежности, которые не возникают сами собой. Решение проблемы подразумевает её постановку, наличие средств и возможностей для решения. Необходимость прокладывает свой путь через дремучую чащу случайностей. Открытия Соболева относятся к годам великого перелома в мировой и отечественной математике. XX век по праву носит имя века свободы. Развитие социальных институтов демократии проходило одновременно с раскрепощением всех сторон духовной жизни людей. Математика раскрывала свою сущность науки о свободных формах мышления. Свобода — понятие историческое, отражающее способ разрешения конфликта между безграничными в своем разнообразии индивидуальностями и ограничивающими формами их коллективного сосуществования. Исторический антураж — обязательный компонент каждого триумфа и каждой трагедии. Осмысливая свои достижения в 1957 г., сам Соболев отмечал¹⁰:

«В процессе изучения разнообразных задач на отыскание функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям в частных производных, оказалось полезным использовать класс функций, не обладающих повсюду непрерывными производными нужного порядка, но являющихся в некотором смысле предельными для настоящих решений уравнений. Такие обобщённые решения ищутся, естественно, в различных функциональных пространствах, иногда полных, а иногда специально пополняемых при помощи введения новых „идеальных элементов“.
От индивидуального решения наука перешла к изучению функциональных пространств, операторов в них и тех элементов, которые являются решениями.
Вопрос о том, когда эти обобщённые решения будут решениями в классическом смысле, при таком рассмотрении становится самостоятельным».

Как мы видим, Соболев выделил неразрывную связь своей теории с гильбертовой идеей социализации математических проблем. Методология Гильберта опиралась на канторову теорию множеств. Идея пересмотра понятия решения дифференциального уравнения носилась в математической атмосфере начала XX века. Нет сомнений, что обращение Соболева к этой проблематике связано с Гюнтером. В его некрологе, написанном Соболевым и Смирновым, подчеркивалась роль Гюнтера в пропаганде идеи Лебега о необходимости пересмотра подхода к уравнениям математической физики на основе теории функций множеств¹¹. С идеями функционального анализа Соболев знакомился в семинаре, организованном Смирновым. Именно в этом семинаре изучалась классическая книга Дж. фон Неймана по математическим методам квантовой механики. Нейман резко критиковал подход Дирака: «„несобственные“ конструкции (такие, как δ(x), δ'(x),...) лежат за пределами обычно употребляемых математических методов...» и писал о дельта-функции, что «Дирак лицемерно допустил существование функции такого рода»¹². Идеи Неймана вызвали интерес и другого участника семинара Смирнова — Л. В. Канторовича, университетского товарища Соболева, который опубликовал в 1935 г. две заметки в ДАН, посвящённые проблеме расширения понятия функции в духе К. Фридрихса и содержащие описание обобщённого дифференцирования умеренных периодических распределений¹³. Представляется совершенно невероятным, чтобы Соболев и Канторович, близкие друзья и участники одного семинара, могли не знать о работах друг друга на родственные темы. Однако ни тот, ни другой никогда не упоминали об этом эпизоде в дальнейшем. Становится ясным, что в те годы между Соболевым и Канторовичем, поддерживавшими теплую и сердечную дружбу до конца своих дней, имело место временное взаимное отчуждение. Понять его природу помогают исключительно острые политические события, развернувшиеся в начале тридцатых годов прошлого века в математической среде Ленинграда и Москвы. Против старой математической профессуры северной столицы был развернут «ленинградский математический фронт». Главным объектом атаки стал Гюнтер, возглавлявший Петроградское математическое общество с момента его возрождения в 1920 г. Гюнтер был по полной программе обвинен в идеализме и отрыве от практики, получив клеймо «реакционера в общественной жизни» и «консерватора в науке». Под «Декларацией инициативной группы по реорганизации Ленинградского физико-математического общества» от 10 марта 1931 г., содержащей ужасные обвинения против Гюнтера, поставили свои подписи 13 человек, среди которых были И. М. Виноградов, Б. Н. Делоне, Л. В. Канторович и Г. М. Фихтенгольц. Гюнтер оставил руководство кафедрой и был вынужден написать покаянное письмо, впрочем, также заклейменное «математиками-материалистами». К среде идеалистов был причислен также В. А. Стеклов¹⁴. К чести Соболева и Смирнова, они не присоединились к публичной травле своих наставников¹⁵. Антидотом послужила явная близость научных взглядов учителей и учеников. Обстановка в математическом сообществе страны мало отличалась от общих нравов той эпохи. Старую профессуру травили и в Москве¹⁶. К участию в дрязгах москвичи пытались привлечь и Канторовича, который в те годы был среди первых специалистов по дескриптивной теории функций и множеств. Канторович от каких-либо нападений на Лузина воздержался, в то время как Соболев, к сожалению, принял активное участие в работе академической комиссии по «делу Лузина»¹⁷. Трагедия математики в России в 1930 годы была всеобщей. Всеобщими были и её триумфы.

Соболев и бомба

Homo sapiens проявляет себя как человек творящий. Сила человека в способности создавать и передавать идеальные неосязаемые ценности. Математика хранит древнейшие технологии безошибочных интеллектуальных приемов. Наука и искусство доказательных исчислений, математика расположена в центре культуры. Свобода мышления — это sine qua non личной свободы человека. Математика, положенная в основу мировоззрения, становится основой и гарантом его свободы. Творчество Эйлера и лучших представителей его школы дают тому неисчислимые примеры. Не стала исключением и судьба Соболева. В XX веке человечество подошло к краю безопасных границ своего существования, проявив неспособность остановить поджигателей Первой и Второй мировых войн. Гарантом свободы стало оружие сдерживания. Создание атомной бомбы в США и России — демонстрация удивительной силы науки — последнего резерва выживания человечества. Математики могут гордиться участием своих коллег в этом процессе. В Манхеттенском проекте работали Нейман и Улам. В осуществлении отечественного проекта «Энормоз» участвовали Соболев и Канторович. В настоящее время большинство документов, касающихся истории создания ядерного оружия, рассекречено и опубликовано, и мы можем ощутить накал той героической эпохи. Начало работ по атомному проекту в нашей стране принято связывать с распоряжением ГКО №2352сс «Об организации работ по урану» от 28 сентября 1942 г.¹⁸. Спустя несколько месяцев 11 февраля 1943 г. ГКО принимает решение об организации Лаборатории №2 АН СССР для изучения атомной энергии. Руководство Лабораторией и всеми работами по атомной проблеме было поручено И. В. Курчатову. Вскоре Соболев был назначен одним из заместителей Курчатова и вошел в группу И. К. Кикоина, где занимались проблемой обогащения урана с помощью каскадов диффузионных машин для разделения изотопов. В Особой папке хранится отчет Курчатова и Кикоина, датированный августом 1945 г. В преамбуле этого документа говорится:

«Работы по использованию внутриатомной энергии урана начались в СССР в 1943 году, когда для этой цели была организована в Академии наук СССР Лаборатория №2 под руководством академика Курчатова И. В.
Так как лаборатория не имела помещения, оборудования, кадров и урана, ее работа сводилась к анализу полученных нами секретных материалов о работах иностранных учёных над проблемой урана, к расчетам по проверке этих данных и к проведению отдельных экспериментов.
Во второй половине 1944 г. и [в] начале 1945 г. Лаборатории №2 по решению ГОКО оказана помощь в обеспечении помещением, оборудованием, материалами и кадрами специалистов, что дало ей возможность приступить к проведению собственных исследовательских работ.
Одновременно к разработке отдельных вопросов проблемы урана был привлечен по программе Лаборатории №2 ряд институтов, конструкторских и проектных организаций СССР (Радиевый, Физический и Энергетический институты АН СССР, Всесоюзный институт минерального сырья, Государственный институт редких металлов, Гос. НИИ-42 НКХП и др.).
Из четырёх известных за границей способов получения атомных взрывчатых веществ (урана-235 и плутония-239), а именно: способом „котёл уран — графит“, способом „котёл уран — тяжёлая вода“, способом диффузионным, способом магнитным, руководящие работники Лаборатории №2 (академики Курчатов, Соболев, члены-корреспонденты Академии наук Кикоин, Вознесенский) считают, что по трём первым из указанных способов Лаборатория №2 в настоящее время имеет уже достаточные данные для проектирования и сооружения установок»¹⁹.

Уже в 1946 г. были построены первые газовые компрессоры и освоено их серийное производство. Начались эксперименты по обогащению газообразного шестифтористого урана. Работа требовала решения колоссального числа разнообразных научных, технологических и организационных проблем, ставших на долгие годы главным делом Соболева. Достаточно привести их перечень из справки для Л. П. Берии от 15 августа 1946 г.²⁰:

1. Выбор общей схемы технологического процесса промышленного разделительного завода.
2. Сырье.
3. Проблема фильтров.
4. Нагнетатели (компрессоры).
5. Проблема уплотнения (герметизация) компрессоров и смазка.
6. Вопросы коррозии материалов в шестифтористом уране.
7. Анализ обогащения легкого изотопа.
8. Проблема регулирования и автоматики.

Соболев работал как в группе по плутонию-239, так и в группе по урану-235²¹, организовывал и направлял работу вычислителей, разрабатывал вопросы регулирования процесса промышленного разделения изотопов, отвечал за снижение потерь и решал массу иных организационных и технических вопросов. Его роль в атомном проекте возрастала. В феврале 1947 г. Курчатов пишет Берии:

«Академик С. Л. Соболев до настоящего времени был ознакомлен с материалами Бюро №2 только в той части, которая относилась к диффузионному методу. В связи с назначением его на должность заместителя начальника Лаборатории №2 АН СССР я прошу Вашего разрешения ознакомить академика Соболева С. Л. с материалами Бюро №2 по всем вопросам проблемы»²².

Испытание РДС-1 состоялось около Семипалатинска в 8 часов местного времени 29 августа 1949 г. Ровно через два месяца более восьмиста участников атомного проекта были награждены орденами. Соболев получил орден Ленина. Еще в середине 1949 г. Лаборатория №2 была переименована в ЛИПАН — Лабораторию измерительных приборов Академии наук. Усилия Кикоина и Соболева были сфокусированы на производственной деятельности диффузионного завода. Один из пунктов Постановления Совета Министров СССР № 5472-2086сс/оп от 1 декабря 1949 г. гласил:

«Возложить на т. Соболева С. Л. (заместителя начальника Лаборатории №2 Академии наук СССР) руководство расчетно-теоретическим сектором Центральной лаборатории комбината №813, обязав его находиться на комбинате для выполнения указанных работ не менее 50% всего времени (по согласованию с т. Курчатовым И. В.)»²³.

В ЛИПАНе Соболев написал главную книгу своей жизни — «Некоторые применения функционального анализа в математической физике». Атомный проект обогатил научный и личностный потенциал Соболева. До конца жизни огромное место в его творчестве заняла вычислительная математика. С 1952 по 1960 гг. он возглавлял кафедру вычислительной математики МГУ. Уже в Сибири Соболев построил теорию кубатурных формул, удивительную красотой своей универсальности. В ней Соболев синтезировал идеи классических приближенных методов и теории распределений. Вычисления на сетках Соболев стал рассматривать как интегралы, содержащие обобщённые функции в рамках отстаиваемой им идеи неразрывной связи функционального анализа и теории вычислений. Работа в ЛИПАНе добавила Соболеву новые яркие краски в понимании математики. По его словам именно в те годы он понял, что для многих задач важен не абстрактный вопрос существования решения, а конкретное предъявление разумного приближенного варианта к назначенному сроку. Выдающуюся роль в истории отечественной науки сыграли выступления Соболева в октябре 1958 г. на Всесоюзном совещании по философским проблемам естествознания. Детализируя и развивая положения письменного доклада, подготовленного совместно с А. А. Ляпуновым²⁵, Соболев отстаивал свободу науки от идеологического вмешательства, защищал идеи кибернетики и генетики, остро критикуя неоламаркистскую чепуху²⁶. В частности, в докладе говорилось, что «ни один учёный не выдвинул бы тезиса о приспособительной наследственности или направленной эволюции, независимой от отбора» [27, С. 252]. В заключительном слове Соболев сказал²⁷:

«...кибернетика не есть идеалистическая наука, потому что она изучает факты, а факты не бывают ни материалистическими, ни идеалистическими... Нельзя разделить физику на физику материалистическую и физику идеалистическую. Нельзя говорить, что эта атомная бомба материалистическая, а эта — идеалистическая, что этот ускоритель элементарных частиц идеалистический, а этот — материалистический. Таких вещей не бывает. Главная дорога развития физики — это дорога строго научная. Могут быть те или иные философские взгляды, но факты и теории, которые привели к крупнейшим достижениям современной физики, которые мы видим, нельзя классифицировать как материализм и идеализм. Так же точно обстоит дело с кибернетикой...».

Материалы конференции были опубликованы значительным тиражом²⁸, показав академическому сообществу страны, что защита науки может осуществляться не только в почтительной форме личных или коллективных писем в ЦК КПСС. Гражданская смелость Соболева в отстаивании новых идей генетики, кибернетики и математической экономики в годы послевоенного наступления мракобесов от «марксизма» стоят в одном ряду с его участием в проекте «Энормоз» и освоении научной целины Сибири. Вклад Соболева в создание атомного оружия отмечен не только званием Героя Социалистического Труда, но и вечной благодарностью нашего народа известным и анонимным защитникам свободы отечества.

Новая производная — новое исчисление

Исследования Соболева связаны с переосмыcлением понятия решения дифференциального уравнения. Соболев предложил решать задачу Коши в пространстве функционалов, то есть отказаться от стандартного понимания решения как функции. Фактически Соболев стал считать дифференциальное уравнение решенным даже в тех случаях, когда нам доступны всевозможные интегральные характеристики поведения процесса. При этом решение как функция времени может быть не только неизвестным, но и просто отсутствующим. В науку вошло качественно новое понимание ключевых принципов прогнозирования. Эйлер еще в 1755 г. дал универсальное определение функции, которое почти двести лет воспринималось как наиболее общее и совершенное. В своём знаменитом курсе дифференциального исчисления он писал²⁹: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменениям, то первые называются функциями вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других. Итак, если x обозначает переменное количество, то все количества, которые как-либо зависят от x, т. е. определяются им, называются его функциями». Обобщённые производные Соболева под эйлерово понятие функции не подпадают. Дифференцирование, предложенное Соболевым, опирается на новое понимание взаимозависимости математических величин. Обобщённая функция определяется неявно с помощью интегральных характеристик своих воздействий на всех представителей заранее выбранного класса пробных функций. Открытия Ньютона и Лейбница подытожили многовековую предысторию дифференциального и интегрального исчисления, открыв дорогу новым исследованиям. Достижения Лебега и Соболева продолжили размышления их гениальных предшественников и осветили путь математиков нашего времени³⁰. Соболев был среди пионеров применения функционального анализа в математической физике, создав свою теорию в 1935 г. В работах Лорана Шварца³¹, независимо пришедшего к тем же идеям спустя целое десятилетие, новое исчисление стало общедоступным, представ в виде элегантной, мощной и чрезвычайно прозрачной теории распределений, утилизировавшей многие прогрессивные идеи алгебры, геометрии и топологии. Соболев исключительно высоко оценивал вклад Шварца в разработку аппарата преобразования Фурье распределений³²:

«Обобщённые функции так же, как и обычные функции, могут быть подвергнуты преобразованию Фурье. Можно сказать больше. Преобразование Фурье сталкивалось в классическом анализе с рядом существенных трудностей таких, как расходимость интегралов, невозможность истолковать в определенном смысле получаемые бесконечные выражения и т. п. Теория обобщённых функций сняла многие из этих трудностей и превратила преобразование Фурье в мощное средство анализа»³³.

Дифференциальное исчисление семнадцатого века неотделимо от общих воззрений классической механики. Теория обобщённых функций связана с механикой квантовой. Следует особо подчеркнуть, что квантовая механика не является простым обобщением классической механики. Квантовая механика представляет научное мировоззрение, основанное на новых законах. Классические детерминизм и непрерывность уступили место квантованию и неопределенности. В XX веке человечество вышло на совершенно иной уровень понимания природных процессов. Аналогичным образом дело обстоит и с математическими теориями современности. Логика наших дней не является обобщением логики Аристотеля. Геометрия банаховых пространств не служит обобщением евклидовой планиметрии. Теория распределений, ставшая исчислением нашего времени, коренным образом преобразила всю технологию математического описания физических процессов с помощью дифференциальных уравнений. Соболев слышал будущее и дарил людей своими пространствами³⁴. Его открытия стали триггером многих революционных изменений математики, счастливыми свидетелями и участниками прогресса которой мы являемся. Последняя серия математических работ Соболева была посвящена тонким свойствам корней полиномов Эйлера...

Литература

[1] Брылевская Л. И. (2002) Миф об Остроградском: правда и вымысел// В кн.: Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 7 (42). — М.: Янус-К, 2002.—С. 18–38.

[2] Varadarajan V. S. (2006) Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society.

[3] Рид К. (1977) Гильберт. С приложением обзора Германа Вейля математических трудов Гильберта. — М.: Физматлит.

[4] Гнеденко Б. В. (1952) Михаил Васильевич Остроградский. — М.: ГИТТЛ.

[5] Прудников В. Е. (1976) Пафнутий Львович Чебышев. — Л.: Наука.

[6] Смирнов В. И. (Ред.) (1970) Математика в Петербургском-Ленинградском университете. — Л.: Изд. ЛГУ.

[7] Рамазанов М. Д. (Ред.) (2003) Сергей Львович Соболев. Cтраницы жизни в воспоминаниях современников. — Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН.

[8] Ладыженская О. А., Бабич В. М. (Ред.) (2006) Владимир Иванович Смирнов (1887–1974). Изд. 2-ое. — М.: Наука.

[9] Соболев С. Л. (2006) Избранные труды. Том 2. — Новосибирск: Институт математики.

[10] Смирнов В. И., Соболев С. Л. Биографический очерк [Николай Максимович Гюнтер (1871–1941)] // В кн.: Гюнтер Н. М., Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. — М., ГИТТЛ, 1953. — С.  393–405.

[11] Нейман, Иоганн фон (1964) Математические методы квантовой механики. — М.: Наука.

[12] Канторович Л. В. (1935) О некоторых общих методах расширения пространства Гильберта// Докл. АН СССР. — 1935. — Т. 4, №3. — С. 115–118.

[13] Канторович Л. В. (1935) Некоторые частные методы расширения пространства Гильберта// Докл. АН СССР. — 1935. — Т. 4, №4/5. — С. 163–167.

[14] Гельфанд И. М. (2002) Леонид Канторович и синтез двух культур// В кн.: Леонид Витальевич Канторович — человек и учёный. Том 1.— Новосибирск, Изд. «Гео», С. 162–163.

[15] Лейферт Л. А., Сегал Б. И., Федоров Л. И. (Ред.) (1931) На ленинградском математическом фронте. — М.—Л.: Гос. социально-эконом. изд.

[16] Кутателадзе С. С. (2007) Корни дела Лузина// Сибирский журн. индустр. мат.— 2007.—Т. 10, №2.—C. 85–92.

[17] Демидов С. C., Левшин Б. В. (Ред.) (1999) Дело академика Николая Николаевича Лузина.—Санкт-Петербург: Русский христианский гуманитарный институт.

[18] Рябев Л. Д. (Ред.) (2000) Атомный проект СССР. Документы и материалы. Том II: Атомная бомба 1945–1954. Книга 2.— Москва, Саров: Наука.

[19] Рябев Л. Д. (Ред.) (2000) Атомный проект СССР. Документы и материалы. Том II: Атомная бомба 1945–1954. Книга 4.— Москва, Саров: Наука.

[20] Эйлер Л. (1949) Дифференциальное исчисление. — Л.: Гостехиздат, 1949.

[21] Lützen J. (1982) The Prehistory of the Theory of Distributions. — New York etc.: Springer.

[22] Schwartz L. (2001) A Mathematician Grappling with His Century. — Basel etc.: Birkhaüser.

[23] Кутателадзе С. С. (2005) Сергей Соболев и Лоран Шварц. — Вестник РАН.—Т.75, 4.—С. 354–359.

[24] Соболев С. Л. (1974) Введение в теорию кубатурных формул. —М.: Наука.

[25] Пастернак Б. Л. (1969) Собрание сочинений в пяти томах. Том второй. —М.: Изд. «Художественная литература».

[27] Федосеев П. Н. и др. (ред.) (1959) Философские проблемы современного естествознания.— М.: Изд. Академии наук СССР.

[28] Дубинина Л. Г. и Овчинникова И. Н. (сост.) (2006) Николай Петрович Дубинин и XX век.— М.: Наука.

---

Примечания:

¹Из частного письма Н. Н. Лузина. Цитируется по [1].

²Об Эйлере см. [2].

³Цитируется по книге К. Рид [3, С. 245].

⁴См. [4, c. 101].

⁵Б. В. Гнеденко в [4, С. 60] дает ссылку на работу Е. Ф. Сабинина, датированную 1901 г.

⁶Цитируется по [4, С. 101–102], где в качестве источника указан Архив АН СССР, ф. 2, оп. 1844. лл. 13–14.

⁷О Чебышеве см. [5].

⁸История петербургской-ленинградской математической школы отражена в [6]. О ранних годах Соболева немного рассказано в [7].

⁹См. [8, С. 54].

¹⁰Цитируется по [9, С. 596], где воспроизведена статья 1957 г. в Весн. Друштва математичара и физичара Народ. Репуб. Србиjе.—1957.— Т. 9.— С. 215–244.

¹¹См., в частности, [10].

¹²Цитируется по [11, С. 27–29]. Первое издание датировано 1932 г.

¹³Статьи [12, 13]. В 1991 г. И. М. Гельфанд охарактеризовал эти работы следующим образом: «По существу Леонид Витальевич первым понял значение обобщённых функций и написал об этом задолго до Лорана Шварца» (см. [14]). Статья Соболева «Задача Коши в пространстве функционалов» опубликована в томе 3 ДАН СССР за 1935 г. (см. [9  С. 11–13]).

¹⁴«Декларация» и прочие документы «ленинградского математического фронта» вошли в брошюру [15].

¹⁵Досталось и Смирнову, причисленному к правым примиренцам и прикрывателям Гюнтера [15, C. 10, 33].

¹⁶Литературные ссылки имеются, в частности, в [16].

¹⁷Исторические подробности и стенограммы заседаний Комиссии АН ССCР представлены в [17].

¹⁸Подпись Председателя ГКО И. В. Сталина на подлиннике отстутствует. В приложенном списке на рассылку указано, что полный текст распоряжения был направлен В. М. Молотову, С. В. Кафтанову, А. Ф. Иоффе, В. Л. Комарову, Я. Е. Чадаеву.

¹⁹Полностью документ приведен в [18, С. 307]. На титульном листе есть пометка рукой И. В. Сталина: «Прочесть».

²⁰См. [18, С. 567].

²¹Об этом см. [18, С. 386–387 ].

²²Цитируется по [19, С. 432]. На этом совершенно секретном документе, написанном в единственном экземпляре, имеется резолюция от руки: «Согласен. Л. Берия. 21/II 47».

²³См. [19, С. 363, 364].

²⁴См. [20, С. 38].

²⁵Опубликован в  [27, C. 237–260]

²⁶Всем было ясно, что объект критики — Т. Д. Лысенко.

²⁷См. [27, C. 572].

²⁸Книга была подписана к печати 22.10.1959. Следует напомнить, что 29.06.1959 Н. С. Хрущев выступил на Пленуме ЦК КПСС с докладом, где хвалил Т. Д. Лысенко и ругал как научный вклад Н. П. Дубинина, так и руководство Сибирского отделения за назначение Н. П. Дубинина директором Института цитологии и генетики СО АН СССР (см. [28, C. 192–199]).

²⁹См. [20, C. 38].

³⁰О предыстории теории распределений см. [21]. Знаменитый спор Эйлера и Даламбера о колеблющейся струне стал началом поисков обобщений понятия решения дифференциального уравнения.

³¹Взгляды Л. Шварца на открытие теории распределений представлены в его автобиографии [22]. Дополнительная библиография имеется в [23].

³²Соболев отсчитывал теорию обобщённых функций от своей работы 1935 г. и указывал: «Теория обобщённых функций была позднее разработана Л. Шварцем [21], который, в частности, рассмотрел и исследовал преобразование Фурье обобщённых функций» (см. [24, С. 355]). Здесь имеется курьезная опечатка: правильная ссылка на двухтомник Шварца — [47].

³³См. [24, С. 415].

³⁴Б. Л. Пастернак писал в безымянном стихотворении с первой строкой «Быть знаменитым некрасиво», датированным 1956 г. (см. [25, C. 74]):

Но надо жить без самозванства,
Так жить, чтобы в конце концов
Привлечь к себе любовь пространства,
Услышать будущего зов.

© Кутателадзе С. С. 2008