Алгебра, теория чисел и математическая логика

Важнейшие результаты

   2007 год      2006 год      2005 год      2004 год      2003 год      2002 год      2001 год      2000 год

Научное направление в Институте математики СО РАН основано в 1960 году одним из крупнейших математиков XX века академиком Мальцевым Анатолием Ивановичем (1909-1967).

А. И. Мальцеву принадлежат глубокие работы по применению математической логики к алгебре и математической кибернетике. По выражению известных американских математиков А. Тарского, Л. Хенкина и Д. Монка, А. И. Мальцев указал математикам путь из логики в алгебру. Условия Мальцева, теории Мальцева, теоремы Мальцева, алгебры Мальцева широко используются в современном математическом языке.
Разработанная А. И. Мальцевым и А. Тарским теория аксиоматизируемых классов алгебраических систем обеспечила всесторонний синтез идей алгебры и математической логики и с новой силой (уже в XX веке) продемонстрировала единство и  целостность математической науки.

В настоящее время в рамках теории аксиоматизируемых классов широкое развитие получила теория многообразий, ставшая центральным разделом общей алгебры. Успешно развиваются также теория квазимногообразий и хорнова логика.
Глубокие исследования ведутся в теории моделей, ставшей самостоятельным разделом математической логики и изучающей связи между формальными языками и их интерпретациями или моделями.

Исследования по математической логике и теории алгоритмов возглавляет академик Ершов Юрий Леонидович. В связи с интенсивным развитием электронно-вычислительной техники понятие алгоритма стало одним из важнейших в современной математике. Наряду с изучением теории нумераций, восходящей к А. И. Мальцеву, исследуются проблемы элементарной классификации алгебраических объектов и проблемы алгоритмической разрешимости или неразрешимости элементарных теорий тех или иных классов алгебраических систем.
С целью дальнейшего развития классической рекурсивной теории исследуются проблемы обобщенной теории вычислимости.

Исследования в теории булевых алгебр и конструктивных моделей возглавляет член-корреспондент РАН Гончаров Сергей Савостьянович.
Глубокие исследования развернулись по неклассическим логикам и семантическому программированию.

Основателем исследований по общей теории колец был выдающийся алгебраист — член-корреспондент АН СССР Ширшов Анатолий Илларионович (1921-1981). В созданной им большой научной школе по теории колец и алгебр Ли успешно развиваются как классические направления, так и новые, которые объединяются в рамках теории колец, близких к ассоциативным, и алгебраической теории проективных плоскостей. Отдельные конкретные темы ведущихся исследований связаны с квантовой механикой и геометрией.

Непосредственным организатором исследований по теории групп в логико-алгебраической школе А. И. Мальцева был член-корреспондент АН СССР Каргаполов Михаил Иванович (1928-1976). Под его руководством сформировался большой коллектив докторов наук, успешно работающих в Сибири. В настоящее время исследования в теории групп продолжаются в области конечных групп, разрешимых и обобщенно-разрешимых групп, матричных групп, решеточно-упорядоченных групп и групп автоморфизмов, проконечных групп. Международную известность приобрело издание «Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь».

С 1962 года Сибирская логико-алгебраическая школа при ИМ СО РАН издает специализированный журнал «Алгебра и логика», который переводится на английский язык.