Алгебра,
теория чисел и математическая логика
Важнейшие результаты
2007 год
2006 год
2005 год
2004 год
2003 год
2002 год
2001 год
2000 год
Научное направление в Институте математики СО РАН
основано в 1960 году одним из крупнейших математиков XX века
академиком Мальцевым
Анатолием Ивановичем (1909-1967).
А. И. Мальцеву принадлежат глубокие работы по применению математической
логики к алгебре и математической кибернетике. По выражению известных
американских математиков А. Тарского, Л. Хенкина и Д. Монка, А. И. Мальцев
указал математикам путь из логики в алгебру. Условия Мальцева, теории
Мальцева, теоремы Мальцева, алгебры Мальцева широко используются в современном
математическом языке.
Разработанная А. И. Мальцевым и А. Тарским теория аксиоматизируемых классов
алгебраических систем обеспечила всесторонний синтез идей алгебры и математической
логики и с новой силой (уже в XX веке) продемонстрировала единство и
целостность математической науки.
В настоящее время в рамках теории аксиоматизируемых классов широкое развитие
получила теория многообразий, ставшая центральным разделом общей алгебры.
Успешно развиваются также теория квазимногообразий и хорнова логика.
Глубокие исследования ведутся в теории моделей, ставшей самостоятельным
разделом математической логики и изучающей связи между формальными языками
и их интерпретациями или моделями.
Исследования по математической логике и теории алгоритмов возглавляет
академик Ершов
Юрий Леонидович. В связи с интенсивным развитием
электронно-вычислительной техники понятие алгоритма стало
одним из важнейших в современной математике. Наряду с изучением
теории нумераций, восходящей к А. И. Мальцеву, исследуются
проблемы элементарной классификации алгебраических объектов и проблемы
алгоритмической разрешимости или неразрешимости элементарных теорий тех
или иных классов алгебраических систем.
С целью дальнейшего развития классической рекурсивной теории исследуются
проблемы обобщенной теории вычислимости.
Исследования в теории булевых алгебр и конструктивных моделей
возглавляет член-корреспондент РАН Гончаров
Сергей Савостьянович.
Глубокие исследования развернулись по неклассическим логикам и семантическому
программированию.
Основателем исследований по общей теории колец был выдающийся алгебраист —
член-корреспондент АН СССР Ширшов
Анатолий Илларионович (1921-1981). В созданной
им большой научной школе по теории колец и алгебр Ли успешно
развиваются как классические направления, так и новые, которые объединяются
в рамках теории колец, близких к ассоциативным, и алгебраической
теории проективных плоскостей. Отдельные конкретные темы ведущихся исследований
связаны с квантовой механикой и геометрией.
Непосредственным организатором исследований по теории групп в
логико-алгебраической школе А. И. Мальцева был член-корреспондент
АН СССР Каргаполов
Михаил Иванович (1928-1976). Под его руководством
сформировался большой коллектив докторов наук, успешно работающих в Сибири.
В настоящее время исследования в теории групп продолжаются в области
конечных групп, разрешимых и обобщенно-разрешимых групп,
матричных групп, решеточно-упорядоченных групп и групп
автоморфизмов, проконечных групп. Международную известность приобрело
издание «Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь».
С 1962 года Сибирская логико-алгебраическая школа при
ИМ СО РАН издает специализированный журнал «Алгебра
и логика», который переводится на английский
язык.
|