Асимптотический подход к сравнению оценок

Возьмем две случайные величины: $\xi$ из нормального распределения ${\mathsf N}_{0,1}$ и $10~\xi$ из нормального распределения ${\mathsf N}_{0,100}$ . Если для $\xi$ , например, $0,9973..={\mathsf P}\,(\lvert \xi\rvert <3)$ , то для $10~\xi$ уже $0,9973..={\mathsf P}\,(\lvert \xi\rvert <30)$ . Разброс значений величины $10~\xi$ гораздо больший, и дисперсия (показатель рассеяния) соответственно больше.

Что показывает коэффициент асимптотической нормальности? Возьмем две АНО с коэффициентами 1 и 100:

$\begin{displaymath} \sqrt{n}(\theta^*_1-\theta^*)\Rightarrow {\mathsf N}_{0,1} \... ...\ \sqrt{n}(\theta^*_2-\theta^*)\Rightarrow {\mathsf N}_{0,100}.\end{displaymath}$

При больших

разброс значений величины $\sqrt{n}(\theta^*_2-\theta^*)$ около нуля гораздо больше, чем у величины $\sqrt{n}(\theta^*_1-\theta^*)$ , поскольку больше предельная дисперсия (она же коэффициент асимптотической нормальности).

Но чем меньше отклонение оценки от параметра, тем лучше. Отсюда — естественный способ сравнения асимптотически нормальных оценок:

Определение 12.

Пусть $\theta^*_1$ — АНО с коэффициентом $\sigma_1^2(\theta)$ , $\theta^*_2$ — АНО с коэффициентом $\sigma_2^2(\theta)$ . Говорят, что $\theta^*_1$ лучше, чем $\theta^*_2$ в смысле асимптотического подхода, если для любого $\theta \in \Theta$

$\begin{displaymath} \sigma_1^2(\theta) \leqslant \sigma_2^2(\theta),\end{displaymath}$

и хотя бы при одном $\theta$ это неравенство строгое.

Пример 13 (продолжение). Сравним между собой в асимптотическом смысле оценки в последовательности $\theta^*_1,\theta^*_2,\ldots$ . Для $\theta^*_k$ коэффициент асимптотической нормальности имеет вид $\sigma^2_k(\theta)={\theta^2}/({2k+1})$ . Коэффициент тем меньше, чем больше

, то есть каждая следующая оценка в этой последовательности лучше предыдущей.

Оценка $\theta^*_{\infty}$ , являющаяся «последней», могла бы быть лучше всех оценок в этой последовательности в смысле асимптотического подхода, если бы являлась асимптотически нормальной. Увы:

Упражнение. См. задачу 7(б) в разделе 1. Доказать, что $\theta^*_k \to X_{(n)}$ п.н., то есть для любого элементарного исхода $\omega$ при $k\to\infty$

$\begin{displaymath} \sqrt[k]{(k+1)\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n X_i^k(\omega)}{n}} \to \max\{X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega)\}.\end{displaymath}$

Еще раз обращаем внимание читателя, что оценка $\hat\theta=X_{(n)}$ оказывается лучше любой асимптотически нормальной оценки: «скорость» ее сходимости к параметру, как показывает (9), равна $n^{-1}$ в отличие от $n^{-1/2}$ для любой АНО.

3.6. Асимптотический подход к сравнению оценок