Свойства дисперсии

Свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания. Заметим, что из существования второго момента следует существование математического ожидания случайной величины и конечность дисперсии.

Во всех свойствах ниже предполагается существование вторых моментов случайных величин.

D1.: Дисперсия может быть вычислена по формуле: .

Доказательство. Положим для удобства

. Тогда

QED

D2.: При умножении случайной величины на постоянную дисперсия увеличивается в раз: .

D3.: — Дисперсия всегда неотрицательна: .
— Дисперсия обращается в нуль лишь для вырожденного распределения: если , то п. н., и наоборот.

Доказательство. Дисперсия есть математическое ожидание почти наверное неотрицательной случайной величины

, и неотрицательность дисперсии следует из свойства (E5).

По свойству (E6), если , то п.н., т.е. п.н. И наоборот: если п. н., то .

QED

D4.: Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную: .

D5.: Если и независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:.

Доказательство. Действительно,

так как математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

QED

Следствие 15. Если

независимы, то дисперсия их разности равна сумме их дисперсий:

Доказательство. Из свойств (D5) и (D2) получим:

QED

Следствие 16. Для произвольных случайных величин

с конечными вторыми моментами имеет место равенство:

D6.: Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины от точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение от своего математического ожидания: .

Доказательство. Сравним величину

с дисперсией:

и последнее неравенство превращается в равенство лишь при .

QED

§ 4. Свойства дисперсии