).
Математическое ожидание и дисперсию этого распределения мы знаем из свойств
(E2) и (D3): 
, 
.
).
Используем свойство устойчивости биномиального распределения
относительно суммирования.
Возьмём на каком-нибудь вероятностном пространстве 
независимых случайных величин 
с распределением Бернулли 
.
Тогда их сумма 
имеет распределение
, и по свойству (E4) имеем:
А поскольку 
независимы, и дисперсия каждой равна 
, то
Итак, 
, 
для 
.
).
Вычислим математическое ожидание 
:
Вычислим так называемый «второй факториальный момент» :
Найдём дисперсию через второй факториальный момент:
).
Вычислим математическое ожидание :
Моменты более высоких порядков легко находятся через факториальные моменты
порядка 
.
Так, второй факториальный момент равен
Поэтому 
и 
.
).
Математическое ожидание этого распределения существует в силу конечности
:
Математическое ожидание равно
так как под сходящимся интегралом стоит нечётная функция. Далее,
Поэтому 
).
Если 
, то
.
Мы только что вычислили
, 
.
Тогда (над каждым равенством подписать, каким свойствам оно обязано)
).
Найдём для произвольного 
момент порядка 
.
В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:
Тогда
).
Математическое ожидание распределения Коши не существует, так как расходится интеграл
Расходится он из-за того, что подынтегральная функция ведёт себя на бесконечности как 
.
Поэтому не существуют ни дисперсия, ни моменты более высоких порядков этого распределения.
То же самое можно сказать про распределение Коши 
.
У распределения Парето существуют только моменты порядка 
, поскольку
сходится при , когда подынтегральная функция на бесконечности
ведёт себя как 
, где 
.
распределения Парето. При каких
у этого распределения существует дисперсия?
А две тысячи триста семнадцатый момент?
).
;
;
.
).
.