Боровковские чтения 2022

	Среда, 24 Августа	Четверг, 25 Августа	Пятница, 26 Августа
12:00 — 12:40	Смородина Н. В. О ядрах некоторых случайных операторов Пусть $\xi_x(t)$ -- решение стохастического дифференциального уравнения $$ d\xi_x(t)=b(\xi_x(t))b^\prime(\xi_x(t))\,dt+b(\xi_x(t))\,dw(t),\ \ \ \ \xi_x(0)=x. $$ В пространстве $L_2(\mathbb{R})$ рассмотрим самосопряженный оператор $$\mathcal{A}=-\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\big(b^2(x)\frac{d}{dx}\big)+V(x),$$ заданный на области определения $W_2^2(\mathbb{R})$. Относительно функций $b(x),V(x)$ мы будем предполагать выполнение следующих условий: 1. $V\in L_1(\mathbb{R}).$ 2. $b\in C_b^2$ и отделена от нуля. 3. Существует $b_0>0$ такое что $\underset{x\to\pm\infty}\lim b(x)=b_0.$ 4. $\underset{x\to\pm\infty}\lim b^\prime(x)=\underset{x\to\pm\infty}\lim b^{\prime\prime}(x)=0.$ 5. $\int_\mathbb{R}x^2(\|b(x)-b_0\|+\|b^{\prime}(x)\|)\,dx<\infty$. Из условий 1-5 вытекает, что спектр оператора $\mathcal{A}$ состоит из интервала $[0,\infty)$ и, возможно, нескольких отрицательных однократных собственных значений. Через $H_{a}\subset L_2(\mathbb{R})$ обозначим абсолютно непрерывное подпространство оператора $\mathcal{A}$, а через $P_{a}$ -- ортогональный проектор в $L_2(\mathbb{R})$ на $H_{a}$. Через $\mathcal{A}_0=\mathcal{A}P_{a}$ обозначим сужение оператора $\mathcal{A}$ на $H_{a}$. Для каждого $\lambda$, удовлетворяющего условию $\mathrm{Re}\,\lambda\leqslant 0$ определим случайный оператор $\mathcal{R}_\lambda^t$, полагая $$ \mathcal{R}_\lambda^tf(x)=\int_0^t e^{\lambda\tau}(P_{a}f)(\xi_x(\tau))e^{-\int_0^\tau V(\xi_x(s))\,ds} \,d\tau. $$ \textbf{Теорема 1.} 1. С вероятностью 1 оператор $\mathcal{R}_\lambda^t$ является ограниченным интегральным оператором в $L_2(\mathbb{R})$ вида $$\mathcal{R}_\lambda^tf(x)=\int_\mathbb{R}r_\lambda(t,x,y)f(y)\,dy,$$ причем при $\mathrm{Re}\,\lambda<0$ последнее равенство справедливо также для $t=\infty$. 2. Для любых $\lambda,t,x$ функция $r_\lambda(t,x,\cdot)\in W_2^\alpha$ для любого $\alpha\in[0,\frac{1}{2})$. \textbf{Теорема 2.} 1. Если $\mathrm{Re}\,\lambda< 0$ то для любого $f\in H_{a}$ выполнено \begin{equation} \mathbb{E}\int_\mathbb{R}r_\lambda(\infty,\cdot,y)f(y)\,dy=(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}f. \label{eq65} \end{equation} 2. Если $\mathrm{Re}\,\lambda= 0$ и $\lambda\neq 0$ то для любого $f\in H_{a}$ выполнено \begin{equation} \lim_{t\to\infty}\mathbb{E}\int_\mathbb{R}r_\lambda(t,\cdot,y)f(y)\,dy=(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}f. \label{eq70} \end{equation} При $\lambda=0$ равенство (\ref{eq70}) выполнено для любого $f\in \mathcal{D}(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}$.	Ковалевский А. П. Совместная асимптотика прямого и обратного процессов количеств непустых урн в бесконечных урновых схемах Изучается совместная асимптотика прямого и обратного процессов количеств непустых урн в бесконечной урновой схеме. Вероятности попадания шаров в урны предполагаются удовлетворяющими условиям регулярного убывания. Доказана слабая сходимость к двумерному гауссовскому процессу, ковариационная функция которого зависит только от показателя степени регулярного убывания вероятностей. Следствие основной теоремы утверждает слабую сходимость интеграла от разности прямого и обратного процессов к нормальному распределению. Получены оценки параметра, имеющие совместное нормальное распределение вместе с прямым и обратным процессами. Эти оценки использованы для построения статистических критериев проверки однородности поведения урновой схемы по числу брошенных шаров. Статистические критерии проверены моделированием и применены к анализу однородности текстов на естественном языке.
12:45 — 13:15	Тарасенко А. С., Лотов В. И. Неравенства для характеристик CUSUM процедуры в задаче обнаружения разладки Получены оценки в виде неравенств для среднего времени задержки с реагированием на наличие разладки и для среднего времени до ложной тревоги при обнаружении разладки с помощью CUSUM процедуры.	Топчий В. А. Критические ветвящиеся процессы со счетным числом типов частиц и случайные графы. Рассмотрены генеалогические деревья ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона. Изучается критический случай, соответствующий одновершинному случайному дереву с независимым одинаково распределенным количеством ребер для всех вершин. Среднее количество ребер, выходящих из вершины более низкого уровня равно 1. Одной из основополагающих теорем для данных процессов является теорема Яглома, утверждающая, что не вырождающиеся к далекому моменту времени n процессы содержат в данный момент времени количество частиц равное этому времени n, умноженному на экспоненциально распределенную случайную величину. Эти условные процессы удобно описывать в терминах редуцированных деревьев, которые получаются из генеалогических деревьев путем исключения поддеревьев, не доходящих до уровня n. Более сложная модель ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона со счетным числом типов частиц, у которых типы потомков получаются суммированием типа родителя с независимыми одинаково распределенными многомерными случайными величинами можно представить как определенные выше в одномерном случае деревья с весами ребер и вершин. Описаны средние и дисперсии ряда характеристик редуцированных деревьев с весом, включая суммарный вес всех вершин на фиксированном уровне. Доказан ряд предельных теорем для редуцированных деревьев. Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003.	Прокопенко Е. И. nan nan
13:15 — 13:30	Кофе-брейк
13:30 — 14:10	Коршунов Д. А. Large deviations for asymptotically space homogeneous Markov chains in two dimensions We discuss Markov chains in positive lattice quadrant whose transition probabilities converge at infinity. Assuming positive recurrence of the chain we study large deviations for its invariant probabilities under Cramer type conditions on jumps.	Тесемников П.И., Фосс С. Г. Верхние и нижние оценки хвостовых вероятностей в модели ветвящегося случайного блуждания в случае тяжёлых хвостов распределений приращений Рассмотрим двумерный массив независимых случайных величин (с.в.) $ \{ \xi_{i, j} \}_{i,j \ge 1} $, распределённых согласно закону $ F $. Мы будем предполагать, что $ F $ центрировано, т.е. \begin{align} \mathbb{E} \xi_{1, 1} = 0, \end{align} и имеет тяжёлый правый хвост, т.е. \begin{align} \mathbb{E} e^{\lambda \xi_{1,1}} \equiv \int_{-\infty}^{\infty} e^{\lambda t} F(dt) = \infty \end{align} при любом $ \lambda > 0 $. Определим семейство случайных блужданий $ S_{i,n} $ по правилу: \begin{align} S_{i, 0} = 0, \qquad S_{i,n} = \sum_{j=1}^{n} \xi_{i, j} \text{ при } n \ge 1. \end{align} Рассмотрим также целочисленную с.в. $ Z > 0 $ п.н. Мы изучаем асимптотику хвоста распределения супремума \begin{align} R_{\mu, Z}^{g} = \max_{1 \le i \le Z} \max_{0 \le n \le \mu} ( S_{i, n} - g(n)), \end{align} где $ \mu \le \infty $ -- произвольная целочисленная с.в., а $ g $ -- неотрицательная функция, стремящаяся к бесконечности с ростом $ n $. Мы приведём условия, при которых нижняя оценка \begin{align} \mathbb{P} \left( R_{\mu, Z}^{g} > x \right) \ge (1 + o(1)) H_{\mu,Z}^{g}(x) \end{align} и верхняя оценка \begin{align} \mathbb{P} \left( R_{\mu, Z}^{g} > x \right) \le (1 + o(1)) H_{\mu,Z}^{g}(x) \end{align} справедливы равномерно по некоторым классам моментов времени $ \mu $ и границ $ g $. Здесь \begin{align} H_{\mu, Z}^{g}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{E} \left[ Z \mathbb{I} (\mu \ge n) \right] \overline{F} (x + g(n)). \end{align} Отметим, что рассматриваемая модель является частным случаем модели ветвящегося случайного блуждания, в котором ветвление возможно лишь в первом поколении. \textbf{Благодарности:} Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации номер 075-15-2022-282.	Саханенко А. И. Об асимптотике вероятности невыхода случайного процесса за криволинейную границу Let $X_1,X_2,\ldots$ be independent random variables. We always assume that the random walk $ S_n:=X_1+\ldots+X_n,\ n=1,2,\dots, $ belongs to the domain of attraction of the normal distribution: i.e. there exists an increasing to infinity sequence $\{b_n>0\}$ such that ${S_n}/{b_n}$ converges in distribution towards the standard normal law as $n\to\infty$. %For a non-random sequence $\{g_n=o(b_n)\}$ l Let $ T:=\inf\{k\geq1:S_k\leq g_k\} $ be the first crossing over the moving boundary $\{g_n=o(b_n)\}$ by the random walk $\{S_n\}$. We consider in the talk the asymptotic behavior of the upper tail $\mathbf{P}(T>n)$. %distributions of first-passage times over moving boundaries %\begin{gather} % \label{i4} %\mathbf{P}(T>n)=\mathbf{P}\Big(\min_{1\le k\le n}(S_k-g_k)>0\Big). %\end{gather} The known classical case is when random walks have zero means, finite variances and $ B_n^2:=\mathbf{E}[S_n^2]\to\infty. $ If the Lindeberg condition is satisfied then $$ \mathbf{P}(T>n)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{U_n}{B_n} \quad \text{with}\quad U_n:=\mathbf{E}[S_n-g_n;T_g>n]. \eqno(1)$$ (See \emph{Ann. Probab.}, 2018, pp. 3313-3350.) In the present talk we focus on the further results in this direction. In particular, we are not going to assume that all summands have finite variances or even finite expectations. Denote by $X_n^{[u_n]}$ the truncation of the random variable $X_n$ on the levels $\pm u_n$, where $u_n/b_n\to0$ sufficiently slow. In this case $$ \mathbf{P}(T>n)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{U_n(u_n)}{b_n} +J_n(u_n,b_n), \eqno(2)$$ where $U_n(u_n)$ is defined similar to $U_n$ in (1), but for the random walk $X_1^{[u_n]}+\dots+X_n^{[u_n]}$ instead of $S_n$. Note that the value $J_n(u_n,b_n)$ from (2) is found in explicit way as a function of distributions of positive jumps of random variables $X_1-u_n,\dots,X_n-u_n$. The talk is based on the joint works with D. Denisov and V. Wachtel. The research was funded by RFBR and DFG according to the research project \textnumero 20-51-12007.
14:10 — 16:00	Обед
16:00 — 16:40	Мини-доклады Прасолов Т. В. Moments of the first descending epoch for a random walk with negative drift Братенков М. А. Изменение скорости сходимости алгоритмов реконструкции изображений в диагностической ядерной медицине Ефремов Е. В. Принцип умеренно больших уклонений для m-зависимых случайных величин в пространстве случайных величин с заданным сублинейным математическим ожиданием Ишков Р. С. Исследование модели заражения в системах обслуживания M/M/k/0 Куснатдинов Т. Р. «Жадные» блуждания на вещественной прямой Резлер А. В. Стабильность и нестабильность систем случайного множественного доступа с механизмом энергетической подпитки Смирнов И. А. Вероятностный подход к игре в угадывание в случайной среде Цыбульский Д. Ю. О распределении длины и высоты цикла регенерации у случайных блужданий со сносом Шелепова А. Д. Асимптотика распределения момента выхода за невозрастающую границу для обобщенных процессов восстановления. Лукьянов А. Е. Метод двойного бутстрапа для оценивания степенного индекса по экспектилям. Трушин А. А. Актуальные задачи в полногеномных исследованиях ассоциаций Тесемников П. И. О распределении длины кратчайшего пути в обобщённом графе Барака -- Эрдёша	Шемякин А. Е. Информация Хеллингера в параметрическом оценивании и построении объективных априорных распределений Информация Хеллингера как локальная характеристика параметрических семейтсв распределений впервые была рассмотрена в работе Шемякин (1992). Она определяется через расстояние Хеллингера между двумя вероятностными мерами. При выполнении определенных условий регулярности, построение нижних границ байесовского риска тесно связано с информацией Фишера и структурой римановых многообразий. Нарушение условий регулярности (недифференцируемая плотность распределения или неопределенная информация Фишера), включая случай равномерного распреджеления, предполагает использование аналогов или обобщений фишеровской информации. Информация Хеллингера может использоваться для построения информационных неравенств типа Рао-Крамера. Нижние границы байесовского риска, известные как неравенства Боровкова-Саханенко (1980), могут быть расширены на нерегулярный случай (Шемякин, 1991). Конструкция объективных или неинформативных априорных распределений, основанная на информации Хеллингера, была предложена в работе Шемякин (2014). Хеллингеровские априорные обобщают правило Джеффриса при нарушении условий регулярности. Во многих примерах они идентичны или близки к референтным априорным (см. Бергер, Бернардо и Сун, 2009) или априорным, полученным по методу соответствия вероятностей (Гхосал и Саманта, 1997). Большая часть работы Шемякин (2014) посвящена одномерному случаю, но общее определение матрицы Хеллингера и хеллингеровских априорных приведены для случая векторного параметра. Условия существования и положительной определенности матрицы информации Хеллингера в работе не рассматривались. Информация Хеллингера применялась также в работе Линь, Мартин и Янг (2019) к задачам оптимального дизайна экспериментов. Рассматривался специальный одномерный случай, для которого построение матрицы Хеллингера не обязательно. В настоящей работе общее определение, условия существования и положительной определенности матрицы информации Хеллингера исследуются в нерегулярных случаях, рассмотренных Ибрагимовым и Хасьминским (1976).	Вахтель В. И. Asymptotic expansions for first-passage times of an oscillating random walk In this talk I shall consider asymptotic expansions for the tail of the distribution of the time when an oscillating random walk crosses a fixed level $-x\le 0$ for the first time . Furthermore, I shall discuss a connection between such expansions and polyharmonic functions for killed random walks.
16:45 — 17:15	Боровков К. А. Parisian ruin with random deficit-dependent delays for spectrally negative L´evy processes We consider an interesting natural extension to the Parisian ruin problem under the assumption that the risk reserve dynamics are given by a spectrally negative L´evy process. The distinctive feature of this extension is that the distribution of the random implementation delay windows’ lengths can depend on the deficit at the epochs when the risk reserve process turns negative, starting a new negative excursion. This includes the possibility of an immediate ruin when the deficit hits a certain subset. In this general setting, we derive a closed-from expression for the Parisian ruin probability and the joint Laplace transform of the Parisian ruin time and the deficit at ruin. [Joint work with Duy Phat Nguyen.]	Логачев А. В., Могульский А. А. Принципы умеренно больших уклонений для траекторий неоднородных случайных блужданий В докладе будет рассмотрена нормированная ломанная построенная по суммам независимых, вообще говоря, разнораспределенных случайных величин. При различных моментных условиях на случайные величины будут изложены теоремы, содержащие принципы умеренно больших уклонений для таких ломанных в пространстве непрерывных на отрезке [0,1] функций. Также будет указана связь между зоной, в которой выполнен принцип умеренно больших уклонений и тем моментом, который существует у случайных величин.
17:15 — 17:30	Welcome party + стенды	Кофе-брейк
17:30 — 18:10	Зуев С. А. Сводится ли гармония к алгебре (хотя бы статистически)? В недавнем исследовании американских учёных была предложена формула оценки привлекательности лица на основе отклонения его черт от заданных “канонических” значений. Последние определяются исходя из культуроведческих исследований и включают в себя утверждения типа: равенство ширины глаз расстоянию между ними или равенство отношения расстояния от носа до подбородка к ширине носа золотому сечению. Сама формула держится в секрете и её применение доступно на коммерческой основе. Однако по опубликованным данным мы можем довольно точно ее восстановить и подвергнуть критике подход авторов к попытке свести привлекательность к единой формуле, пусть и в статистическом смысле. Прежде, чем мы перейдём к алгебре, мы обсудим последние научные исследования на пересечении физиологии, психологии, статистики и компьютерной графики в области того, что есть привлекательность и ее биологические корни.	Рыбко А. Н. Динамические системы , связанные с возникновением альфа ритма коры головного мозга Изучается следующий класс динамических систем. На единичной окружности расположены N точек, синхронно вращающихся по часовой стрелке с единичной скоростью. Задан связный ориентированный граф F с вершинами в этих N точках. Имеется (неизвестная) действительнозначная функция f(x) на окружности, равная f(x)= 0 в выделенной точке x= 0 на окружности. Вращающиеся точки совершают прыжки: в момент t, когда какая либо точка n=1,...,N вращаясь, попадает в 0 на окружности, каждая точка m из соседних по графу F c точкой n прыгает на расстояние f(m(t)). Функция f(x) зависит от N , а граф F является случайным. Ясно, что у таких динамических систем имеется простейшее инвариантное состояние, когда все точки слипаются в один большой атом, вращающийся по окружности. Как правило, находятся и другие инвариантные состояния для таких динамических систем. Задача заключается в нахождении таких естественных функций f(x), для которых при растущем t с близкой к единице вероятностью мы сойдемся этому простейшему инвариантному состоянию при больших N.
18:10 — 18:45	Денисов Д. Э. Локальные вероятности для асимптотически устойчивых случайных блужданий на полупространстве Мы рассматриваем асимптотически устойчивое многомерное случайное блуждание $S(n)=(S_1(n),\ldots, S_d(n) )$. Пусть $\tau_x:=\min\{n>0: x_{1}+S_1(n)\le 0\}$ будет момент первого выхода случайно блуждания $x+S(n)$ из полупространства. Мы изучаем асимптотики $p_n(x,y):= \mathbb{P}(x+S(n) \in y+\Delta, \tau_x>n)$ при $n$ стремящемся к бесконечности, где $\Delta$ есть фиксированный куб. Мы получили точные асимптотики в режиме нормальных и малых уклонения и достаточно точные оценки в режиме больших уклонений. Используя эти результаты мы нашли локальные асимптотики функции Грина $G(x,y):=\sum_n p_n(x,y)$, когда $\|y\|$ и/или $\|x\|$ стремится к бесконечности. Работа выполнена совместно с В. Вахтелем.	Чебунин М. Г. Эргодичность по Харрису разделённого протокола управления передачей информации Протоколы управления передачей информации TCP с аддитивным ростом и мультипликативным сбросом интенсивности хорошо известны и изучены в многочисленных работах. Намного более сложным оказывается исследование свойств систем взаимодействующих протоколов. Мы рассматриваем систему обслуживания, в которой как интенсивность входного потока, так и интенсивность обслуживания следуют такому протоколу и динамика последней зависит от обеих интенсивностей. Такого рода стохастическая система была предложена в работе Баччелли, Карофиглио и Фосса в 2009 году, где при частных вероятностных предположениях была доказана положительная возвратность описывающей её марковской цепи и изучен ряд статистических свойств модели. В данной работе мы рассматриваем более общую вероятностную модель и приводим доказательство более сильного утверждения: эргодичности по Харрису соответствующей цепи Маркова. (совместная работа с С.Г. Фосс)

Среда, 24 Августа

Четверг, 25 Августа

Пятница, 26 Августа

12:00 — 12:40

Смородина Н. В.

О ядрах некоторых случайных операторов

Пусть $\xi_x(t)$ -- решение стохастического дифференциального уравнения $$ d\xi_x(t)=b(\xi_x(t))b^\prime(\xi_x(t))\,dt+b(\xi_x(t))\,dw(t),\ \ \ \ \xi_x(0)=x. $$ В пространстве $L_2(\mathbb{R})$ рассмотрим самосопряженный оператор $$\mathcal{A}=-\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\big(b^2(x)\frac{d}{dx}\big)+V(x),$$ заданный на области определения $W_2^2(\mathbb{R})$. Относительно функций $b(x),V(x)$ мы будем предполагать выполнение следующих условий: 1. $V\in L_1(\mathbb{R}).$ 2. $b\in C_b^2$ и отделена от нуля. 3. Существует $b_0>0$ такое что $\underset{x\to\pm\infty}\lim b(x)=b_0.$ 4. $\underset{x\to\pm\infty}\lim b^\prime(x)=\underset{x\to\pm\infty}\lim b^{\prime\prime}(x)=0.$ 5. $\int_\mathbb{R}x^2(|b(x)-b_0|+|b^{\prime}(x)|)\,dx<\infty$. Из условий 1-5 вытекает, что спектр оператора $\mathcal{A}$ состоит из интервала $[0,\infty)$ и, возможно, нескольких отрицательных однократных собственных значений. Через $H_{a}\subset L_2(\mathbb{R})$ обозначим абсолютно непрерывное подпространство оператора $\mathcal{A}$, а через $P_{a}$ -- ортогональный проектор в $L_2(\mathbb{R})$ на $H_{a}$. Через $\mathcal{A}_0=\mathcal{A}P_{a}$ обозначим сужение оператора $\mathcal{A}$ на $H_{a}$. Для каждого $\lambda$, удовлетворяющего условию $\mathrm{Re}\,\lambda\leqslant 0$ определим случайный оператор $\mathcal{R}_\lambda^t$, полагая $$ \mathcal{R}_\lambda^tf(x)=\int_0^t e^{\lambda\tau}(P_{a}f)(\xi_x(\tau))e^{-\int_0^\tau V(\xi_x(s))\,ds} \,d\tau. $$ \textbf{Теорема 1.} 1. С вероятностью 1 оператор $\mathcal{R}_\lambda^t$ является ограниченным интегральным оператором в $L_2(\mathbb{R})$ вида $$\mathcal{R}_\lambda^tf(x)=\int_\mathbb{R}r_\lambda(t,x,y)f(y)\,dy,$$ причем при $\mathrm{Re}\,\lambda<0$ последнее равенство справедливо также для $t=\infty$. 2. Для любых $\lambda,t,x$ функция $r_\lambda(t,x,\cdot)\in W_2^\alpha$ для любого $\alpha\in[0,\frac{1}{2})$. \textbf{Теорема 2.} 1. Если $\mathrm{Re}\,\lambda< 0$ то для любого $f\in H_{a}$ выполнено \begin{equation} \mathbb{E}\int_\mathbb{R}r_\lambda(\infty,\cdot,y)f(y)\,dy=(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}f. \label{eq65} \end{equation} 2. Если $\mathrm{Re}\,\lambda= 0$ и $\lambda\neq 0$ то для любого $f\in H_{a}$ выполнено \begin{equation} \lim_{t\to\infty}\mathbb{E}\int_\mathbb{R}r_\lambda(t,\cdot,y)f(y)\,dy=(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}f. \label{eq70} \end{equation} При $\lambda=0$ равенство (\ref{eq70}) выполнено для любого $f\in \mathcal{D}(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}$.

Ковалевский А. П.

Совместная асимптотика прямого и обратного процессов количеств непустых урн в бесконечных урновых схемах

Изучается совместная асимптотика прямого и обратного процессов количеств непустых урн в бесконечной урновой схеме. Вероятности попадания шаров в урны предполагаются удовлетворяющими условиям регулярного убывания. Доказана слабая сходимость к двумерному гауссовскому процессу, ковариационная функция которого зависит только от показателя степени регулярного убывания вероятностей. Следствие основной теоремы утверждает слабую сходимость интеграла от разности прямого и обратного процессов к нормальному распределению. Получены оценки параметра, имеющие совместное нормальное распределение вместе с прямым и обратным процессами. Эти оценки использованы для построения статистических критериев проверки однородности поведения урновой схемы по числу брошенных шаров. Статистические критерии проверены моделированием и применены к анализу однородности текстов на естественном языке.

12:45 — 13:15

Тарасенко А. С., Лотов В. И.

Неравенства для характеристик CUSUM процедуры в задаче обнаружения разладки

Получены оценки в виде неравенств для среднего времени задержки с реагированием на наличие разладки и для среднего времени до ложной тревоги при обнаружении разладки с помощью CUSUM процедуры.

Топчий В. А.

Критические ветвящиеся процессы со счетным числом типов частиц и случайные графы.

Рассмотрены генеалогические деревья ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона. Изучается критический случай, соответствующий одновершинному случайному дереву с независимым одинаково распределенным количеством ребер для всех вершин. Среднее количество ребер, выходящих из вершины более низкого уровня равно 1. Одной из основополагающих теорем для данных процессов является теорема Яглома, утверждающая, что не вырождающиеся к далекому моменту времени n процессы содержат в данный момент времени количество частиц равное этому времени n, умноженному на экспоненциально распределенную случайную величину. Эти условные процессы удобно описывать в терминах редуцированных деревьев, которые получаются из генеалогических деревьев путем исключения поддеревьев, не доходящих до уровня n. Более сложная модель ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона со счетным числом типов частиц, у которых типы потомков получаются суммированием типа родителя с независимыми одинаково распределенными многомерными случайными величинами можно представить как определенные выше в одномерном случае деревья с весами ребер и вершин. Описаны средние и дисперсии ряда характеристик редуцированных деревьев с весом, включая суммарный вес всех вершин на фиксированном уровне. Доказан ряд предельных теорем для редуцированных деревьев. Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003.

Прокопенко Е. И.

nan

13:15 — 13:30

Кофе-брейк

13:30 — 14:10

Коршунов Д. А.

Large deviations for asymptotically space homogeneous Markov chains in two dimensions

We discuss Markov chains in positive lattice quadrant whose transition probabilities converge at infinity. Assuming positive recurrence of the chain we study large deviations for its invariant probabilities under Cramer type conditions on jumps.

Тесемников П.И., Фосс С. Г.

Верхние и нижние оценки хвостовых вероятностей в модели ветвящегося случайного блуждания в случае тяжёлых хвостов распределений приращений

Рассмотрим двумерный массив независимых случайных величин (с.в.) $ \{ \xi_{i, j} \}_{i,j \ge 1} $, распределённых согласно закону $ F $. Мы будем предполагать, что $ F $ центрировано, т.е. \begin{align*} \mathbb{E} \xi_{1, 1} = 0, \end{align*} и имеет тяжёлый правый хвост, т.е. \begin{align*} \mathbb{E} e^{\lambda \xi_{1,1}} \equiv \int_{-\infty}^{\infty} e^{\lambda t} F(dt) = \infty \end{align*} при любом $ \lambda > 0 $. Определим семейство случайных блужданий $ S_{i,n} $ по правилу: \begin{align*} S_{i, 0} = 0, \qquad S_{i,n} = \sum_{j=1}^{n} \xi_{i, j} \text{ при } n \ge 1. \end{align*} Рассмотрим также целочисленную с.в. $ Z > 0 $ п.н. Мы изучаем асимптотику хвоста распределения супремума \begin{align*} R_{\mu, Z}^{g} = \max_{1 \le i \le Z} \max_{0 \le n \le \mu} ( S_{i, n} - g(n)), \end{align*} где $ \mu \le \infty $ -- произвольная целочисленная с.в., а $ g $ -- неотрицательная функция, стремящаяся к бесконечности с ростом $ n $. Мы приведём условия, при которых нижняя оценка \begin{align*} \mathbb{P} \left( R_{\mu, Z}^{g} > x \right) \ge (1 + o(1)) H_{\mu,Z}^{g}(x) \end{align*} и верхняя оценка \begin{align*} \mathbb{P} \left( R_{\mu, Z}^{g} > x \right) \le (1 + o(1)) H_{\mu,Z}^{g}(x) \end{align*} справедливы равномерно по некоторым классам моментов времени $ \mu $ и границ $ g $. Здесь \begin{align*} H_{\mu, Z}^{g}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{E} \left[ Z \mathbb{I} (\mu \ge n) \right] \overline{F} (x + g(n)). \end{align*} Отметим, что рассматриваемая модель является частным случаем модели ветвящегося случайного блуждания, в котором ветвление возможно лишь в первом поколении. \textbf{Благодарности:} Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации номер 075-15-2022-282.

Саханенко А. И.

Об асимптотике вероятности невыхода случайного процесса за криволинейную границу

Let $X_1,X_2,\ldots$ be independent random variables. We always assume that the random walk $ S_n:=X_1+\ldots+X_n,\ n=1,2,\dots, $ belongs to the domain of attraction of the normal distribution: i.e. there exists an increasing to infinity sequence $\{b_n>0\}$ such that ${S_n}/{b_n}$ converges in distribution towards the standard normal law as $n\to\infty$. %For a non-random sequence $\{g_n=o(b_n)\}$ l Let $ T:=\inf\{k\geq1:S_k\leq g_k\} $ be the first crossing over the moving boundary $\{g_n=o(b_n)\}$ by the random walk $\{S_n\}$. We consider in the talk the asymptotic behavior of the upper tail $\mathbf{P}(T>n)$. %distributions of first-passage times over moving boundaries %\begin{gather*} % \label{i4} %\mathbf{P}(T>n)=\mathbf{P}\Big(\min_{1\le k\le n}(S_k-g_k)>0\Big). %\end{gather*} The known classical case is when random walks have zero means, finite variances and $ B_n^2:=\mathbf{E}[S_n^2]\to\infty. $ If the Lindeberg condition is satisfied then $$ \mathbf{P}(T>n)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{U_n}{B_n} \quad \text{with}\quad U_n:=\mathbf{E}[S_n-g_n;T_g>n]. \eqno(1)$$ (See \emph{Ann. Probab.}, 2018, pp. 3313-3350.) In the present talk we focus on the further results in this direction. In particular, we are not going to assume that all summands have finite variances or even finite expectations. Denote by $X_n^{[u_n]}$ the truncation of the random variable $X_n$ on the levels $\pm u_n$, where $u_n/b_n\to0$ sufficiently slow. In this case $$ \mathbf{P}(T>n)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{U_n(u_n)}{b_n} +J_n(u_n,b_n), \eqno(2)$$ where $U_n(u_n)$ is defined similar to $U_n$ in (1), but for the random walk $X_1^{[u_n]}+\dots+X_n^{[u_n]}$ instead of $S_n$. Note that the value $J_n(u_n,b_n)$ from (2) is found in explicit way as a function of distributions of positive jumps of random variables $X_1-u_n,\dots,X_n-u_n$. The talk is based on the joint works with D. Denisov and V. Wachtel. The research was funded by RFBR and DFG according to the research project \textnumero 20-51-12007.

14:10 — 16:00

Обед

16:00 — 16:40

Мини-доклады

Прасолов Т. В.

Moments of the first descending epoch for a random walk with negative drift

Братенков М. А.

Изменение скорости сходимости алгоритмов реконструкции изображений в диагностической ядерной медицине

Ефремов Е. В.

Принцип умеренно больших уклонений для m-зависимых случайных величин в пространстве случайных величин с заданным сублинейным математическим ожиданием

Ишков Р. С.

Исследование модели заражения в системах обслуживания M/M/k/0

Куснатдинов Т. Р.

«Жадные» блуждания на вещественной прямой

Резлер А. В.

Стабильность и нестабильность систем случайного множественного доступа с механизмом энергетической подпитки

Смирнов И. А.

Вероятностный подход к игре в угадывание в случайной среде

Цыбульский Д. Ю.

О распределении длины и высоты цикла регенерации у случайных блужданий со сносом

Шелепова А. Д.

Асимптотика распределения момента выхода за невозрастающую границу для обобщенных процессов восстановления.

Лукьянов А. Е.

Метод двойного бутстрапа для оценивания степенного индекса по экспектилям.

Трушин А. А.

Актуальные задачи в полногеномных исследованиях ассоциаций

Тесемников П. И.

О распределении длины кратчайшего пути в обобщённом графе Барака -- Эрдёша

Шемякин А. Е.

Информация Хеллингера в параметрическом оценивании и построении объективных априорных распределений

Информация Хеллингера как локальная характеристика параметрических семейтсв распределений впервые была рассмотрена в работе Шемякин (1992). Она определяется через расстояние Хеллингера между двумя вероятностными мерами. При выполнении определенных условий регулярности, построение нижних границ байесовского риска тесно связано с информацией Фишера и структурой римановых многообразий. Нарушение условий регулярности (недифференцируемая плотность распределения или неопределенная информация Фишера), включая случай равномерного распреджеления, предполагает использование аналогов или обобщений фишеровской информации. Информация Хеллингера может использоваться для построения информационных неравенств типа Рао-Крамера. Нижние границы байесовского риска, известные как неравенства Боровкова-Саханенко (1980), могут быть расширены на нерегулярный случай (Шемякин, 1991). Конструкция объективных или неинформативных априорных распределений, основанная на информации Хеллингера, была предложена в работе Шемякин (2014). Хеллингеровские априорные обобщают правило Джеффриса при нарушении условий регулярности. Во многих примерах они идентичны или близки к референтным априорным (см. Бергер, Бернардо и Сун, 2009) или априорным, полученным по методу соответствия вероятностей (Гхосал и Саманта, 1997). Большая часть работы Шемякин (2014) посвящена одномерному случаю, но общее определение матрицы Хеллингера и хеллингеровских априорных приведены для случая векторного параметра. Условия существования и положительной определенности матрицы информации Хеллингера в работе не рассматривались. Информация Хеллингера применялась также в работе Линь, Мартин и Янг (2019) к задачам оптимального дизайна экспериментов. Рассматривался специальный одномерный случай, для которого построение матрицы Хеллингера не обязательно. В настоящей работе общее определение, условия существования и положительной определенности матрицы информации Хеллингера исследуются в нерегулярных случаях, рассмотренных Ибрагимовым и Хасьминским (1976).

Вахтель В. И.

Asymptotic expansions for first-passage times of an oscillating random walk

In this talk I shall consider asymptotic expansions for the tail of the distribution of the time when an oscillating random walk crosses a fixed level $-x\le 0$ for the first time . Furthermore, I shall discuss a connection between such expansions and polyharmonic functions for killed random walks.

16:45 — 17:15

Боровков К. А.

Parisian ruin with random deficit-dependent delays for spectrally negative L´evy processes

We consider an interesting natural extension to the Parisian ruin problem under the assumption that the risk reserve dynamics are given by a spectrally negative L´evy process. The distinctive feature of this extension is that the distribution of the random implementation delay windows’ lengths can depend on the deficit at the epochs when the risk reserve process turns negative, starting a new negative excursion. This includes the possibility of an immediate ruin when the deficit hits a certain subset. In this general setting, we derive a closed-from expression for the Parisian ruin probability and the joint Laplace transform of the Parisian ruin time and the deficit at ruin. [Joint work with Duy Phat Nguyen.]

Логачев А. В., Могульский А. А.

Принципы умеренно больших уклонений для траекторий неоднородных случайных блужданий

В докладе будет рассмотрена нормированная ломанная построенная по суммам независимых, вообще говоря, разнораспределенных случайных величин. При различных моментных условиях на случайные величины будут изложены теоремы, содержащие принципы умеренно больших уклонений для таких ломанных в пространстве непрерывных на отрезке [0,1] функций. Также будет указана связь между зоной, в которой выполнен принцип умеренно больших уклонений и тем моментом, который существует у случайных величин.

17:15 — 17:30

Welcome party + стенды

Кофе-брейк

17:30 — 18:10

Зуев С. А.

Сводится ли гармония к алгебре (хотя бы статистически)?

В недавнем исследовании американских учёных была предложена формула оценки привлекательности лица на основе отклонения его черт от заданных “канонических” значений. Последние определяются исходя из культуроведческих исследований и включают в себя утверждения типа: равенство ширины глаз расстоянию между ними или равенство отношения расстояния от носа до подбородка к ширине носа золотому сечению. Сама формула держится в секрете и её применение доступно на коммерческой основе. Однако по опубликованным данным мы можем довольно точно ее восстановить и подвергнуть критике подход авторов к попытке свести привлекательность к единой формуле, пусть и в статистическом смысле. Прежде, чем мы перейдём к алгебре, мы обсудим последние научные исследования на пересечении физиологии, психологии, статистики и компьютерной графики в области того, что есть привлекательность и ее биологические корни.

Рыбко А. Н.

Динамические системы , связанные с возникновением альфа ритма коры головного мозга

Изучается следующий класс динамических систем. На единичной окружности расположены N точек, синхронно вращающихся по часовой стрелке с единичной скоростью. Задан связный ориентированный граф F с вершинами в этих N точках. Имеется (неизвестная) действительнозначная функция f(x) на окружности, равная f(x)= 0 в выделенной точке x= 0 на окружности. Вращающиеся точки совершают прыжки: в момент t, когда какая либо точка n=1,...,N вращаясь, попадает в 0 на окружности, каждая точка m из соседних по графу F c точкой n прыгает на расстояние f(m(t)). Функция f(x) зависит от N , а граф F является случайным. Ясно, что у таких динамических систем имеется простейшее инвариантное состояние, когда все точки слипаются в один большой атом, вращающийся по окружности. Как правило, находятся и другие инвариантные состояния для таких динамических систем. Задача заключается в нахождении таких естественных функций f(x), для которых при растущем t с близкой к единице вероятностью мы сойдемся этому простейшему инвариантному состоянию при больших N.

18:10 — 18:45

Денисов Д. Э.

Локальные вероятности для асимптотически устойчивых случайных блужданий на полупространстве

Мы рассматриваем асимптотически устойчивое многомерное случайное блуждание $S(n)=(S_1(n),\ldots, S_d(n) )$. Пусть $\tau_x:=\min\{n>0: x_{1}+S_1(n)\le 0\}$ будет момент первого выхода случайно блуждания $x+S(n)$ из полупространства. Мы изучаем асимптотики $p_n(x,y):= \mathbb{P}(x+S(n) \in y+\Delta, \tau_x>n)$ при $n$ стремящемся к бесконечности, где $\Delta$ есть фиксированный куб. Мы получили точные асимптотики в режиме нормальных и малых уклонения и достаточно точные оценки в режиме больших уклонений. Используя эти результаты мы нашли локальные асимптотики функции Грина $G(x,y):=\sum_n p_n(x,y)$, когда $|y|$ и/или $|x|$ стремится к бесконечности. Работа выполнена совместно с В. Вахтелем.

Чебунин М. Г.

Эргодичность по Харрису разделённого протокола управления передачей информации

Протоколы управления передачей информации TCP с аддитивным ростом и мультипликативным сбросом интенсивности хорошо известны и изучены в многочисленных работах. Намного более сложным оказывается исследование свойств систем взаимодействующих протоколов. Мы рассматриваем систему обслуживания, в которой как интенсивность входного потока, так и интенсивность обслуживания следуют такому протоколу и динамика последней зависит от обеих интенсивностей. Такого рода стохастическая система была предложена в работе Баччелли, Карофиглио и Фосса в 2009 году, где при частных вероятностных предположениях была доказана положительная возвратность описывающей её марковской цепи и изучен ряд статистических свойств модели. В данной работе мы рассматриваем более общую вероятностную модель и приводим доказательство более сильного утверждения: эргодичности по Харрису соответствующей цепи Маркова. (совместная работа с С.Г. Фосс)

Бо­ро­вко­вские чтения

Боровковские чтения