Вернуться на основную страницу
Перейти к списку трудов Ю.И. Мерзлякова
Юрий Иванович Мерзляков родился 1 июня 1940 г. в городе Оханске
Пермской области. Мать его была учительницей начальных классов,
отец работал бухгалтером. После окончания с серебряной медалью
средней школы в 1956 г. Юрий Иванович поступил на
механико-математический факультет Пермского университета, который окончил
с отличием в 1961 г. В 1962 г. он поступил в аспирантуру Института
математики СО АН СССР. В 1964 г. защитил
кандидатскую диссертацию и был принят на работу в Институт математики, где и
работал до конца своих дней, в последние годы в должности ведущего
научного сотрудника лаборатории теории функций комплексного переменного.
Юрий Иванович был крупным специалистом в теории групп, автором свыше
100 научных трудов, широко известных как у нас в стране, так и за рубежом.
Уже первые научные работы, написанные Юрием Ивановичем еще во время
учебы в университете, получили высокую оценку специалистов. Под
руководством чл.-корр. АН УССР С. Н. Черникова им проведены исследования
по теории линейных неравенств, результаты которых были опубликованы
в [3 , 4]. В этих работах предложен новый
метод приближенного решения систем линейных неравенств, который был затем
обобщен на системы неравенств с выпуклыми левыми частями.
В двух работах, написанных совместно со своим учителем чл.-корр. АН СССР
М. И. Каргаполовым и сокурсником В. Н. Ремесленниковым, разработан новый метод
доказательства теорем вложения в теории групп. Метод основан на представлении
групп подстановками. Другие методы вложения (примерно в это же время) были
предложены известными зарубежными алгебраистами Ф. Холлом и Б. Нейманом.
Во время обучения в аспирантуре Юрий Иванович получил ряд замечательных
результатов
по теории обобщенно разрешимых групп и, в частности, решил ряд
проблем, поставленных А. Г. Курошем и С. Н. Черниковым в 1947 г. в журнале
"Успехи математических наук".
Юрий Иванович показал, что класс групп,
допускающих уплотнение всякой нормальной матрёшки до разрешимой не замкнут
относительно подгрупп, а класс групп, допускающих уплотнение всякой нормальной матрёшки до
центральной не замкнут относительно декартовых произведений и не аксиоматизируем (см. [5]).
В 1964 г. в журнале Лондонского
математического общества Ф. Холл опубликовал статью, в которой решались
аналогичные проблемы. В отличие от групп Мерзлякова, группа Холла
устроена более сложно, и некоторые вопросы, связанные с ней, не решены до сих
пор.
В 1962 г.
Каргаполов доказал, что если ранги абелевых подгрупп разрешимой группы
ограничены, то и ранг всей группы ограничен. Ранг - это аналог размерности в
некоммутативном случае: группа имеет ранг r, если каждая ее конечно порожденная
подгруппа порождается не более чем r элементами, и это r наименьшее из
возможных. В работе [7] Юрий Иванович обобщил теорему
Каргаполова на локально разрешимые группы, а в [30] установил, что условие
ограниченности рангов абелевых подгрупп в совокупности существенно.
Он построил пример локально полициклической группы без кручения, все абелевы подгруппы
которой
имеют конечный ранг, но этот ранг не ограничен в совокупности. В работе [99]
Юрий Иванович
возвращается к этой группе и доказывает для неё конечность рангов не только
абелевых
подгрупп, но и абелевых секций.
По результатам своих исследований в теории обобщенно разрешимых групп
Юрий Иванович в 1964 г. защитил кандидатскую диссертацию.
Юрию Ивановичу принадлежат результаты во многих разделах теории групп.
Вместе с тем особый интерес у него вызывала теория линейных групп
- область математики исключительно
богатая как содержанием, так и своими связями с алгебраической геометрией,
коммутативной алгеброй, теорией чисел.
В период с 1964 по 1972 г. Юрием Ивановичем получены фундаментальные
результаты по линейным группам и линейной представимости абстрактных групп.
Пожалуй, на первое место стоит поставить его теорему о точной
представимости голоморфов полициклических групп
целочисленными матрицами [34]. Эта теорема объединила многочисленные
промежуточные результаты в этом направлении таких математиков как Ф. Холл,
Ауслендер и Баумслаг, Суон, Цассенхауз и Мостов. Одновременно она дала простое
объяснение многим ранее известным свойствам групп автоморфизмов полициклических
групп. Для
доказательства этой теоремы Юрий Иванович предложил оригинальный метод
расщепляемых координат на группе [36], позволивший ему получить разнообразные
результаты о точной представимости матрицами для абстрактных групп, групп их
автоморфизмов и расширений
[26, 44, 53, 111], в частности, критерий
линеаризуемости бирациональных голоморфов связных алгебраических линейных групп
над полем нулевой характеристики.
В 1957 г. на Канадском математическом конгрессе Ф. Холл сформулировал свои
знаменитые гипотезы о вербальных и маргинальных подгруппах. В 1967 г.
Юрий Иванович дал положительный ответ на все три гипотезы Холла в классе
линейных групп [18].
В решении
этих задач сыграл важную роль переход к
замыканию в полиномиальной топологии с последующим
использованием приемов алгебраической геометрии.
Сам Холл получил положительный ответ в классе почти
полициклических групп. Поскольку всякая почти полициклическая группа
линейна, то результат Мерзлякова включает результат Холла.
Отметим,
что позднее в классе всех групп к гипотезам Холла были
построены нетривиальные контрпримеры.
В доказательстве Юрия Ивановича гармонично сочетаются чисто
теоретико-групповая техника и техника линейных алгебраических групп
над универсальной областью.
Развитие современной теории линейных алгебраических групп в определенной
степени стимулировалось задачами дифференциальной алгебры, поскольку
дифференциальным аналогом группы Галуа алгебраического уравнения
является линейная алгебраическая группа. В монографии Капланского по
дифференциальной алгебре отмечался нерешенный вопрос о замкнутости
степеней несвязной группы. Юрий Иванович доказал замкнутость вербальных
подгрупп в произвольной линейной алгебраической группе и, в частности,
положительно ответил на вопрос Капланского.
Исследуя
вербальные подгруппы алгебраических линейных групп, Юрий
Иванович также доказал их замкнутость и конечность ширины
[17]. Ранее это было известно только для связных
групп и некоторых слов коммутаторного типа в несвязном
случае. В той же работе показано, что всякая
алгебраическая линейная группа над полем
нулевой характеристики рационально изоморфна группе
всех автоморфизмов
некоторого конечномерного векторного пространства, сохраняющих подходящий
конечный набор полилинейных операций.
Большой цикл работ Юрия Ивановича посвящен исследованию вопросов
представимости матрицами абстрактных групп. Это направление было заложено
в работах А. И. Мальцева, который указал критерий представимости матрицами
абелевых групп. Юрий Иванович развил метод расщепляемых координат,
который позволил доказать представимость матрицами широких классов
абстрактных групп. Методом расщепляемых координат им доказана матричная
представимость групп внешних автоморфизмов черниковских групп. Получены
необходимые и достаточные условия линейности бирационального голоморфа
связной алгебраической линейной группы над универсальной областью.
В 1972 г. по результатам своих 8-летних исследований Юрий Иванович
защитил докторскую диссертацию "Исследования по матричной представимости
абстрактных групп и матричным группам".
Отметим, что Юрий Иванович исследовал линейные группы с разных позиций. В ряде
его работ [8, 25, 29, 47] и работах его учеников изучались связи между решеткой
идеалов кольца и решеткой нормальных подгрупп линейных групп над кольцами,
вычислялись ряды коммутантов и централов, вычислялись автоморфизмы, исследовалась
финитная аппроксимируемость, устанавливались порождающие элементы и определяющие
соотношения.
Ввиду альтернативы Титса всякая конечно порожденная линейная группа над полем
либо почти разрешима, либо содержит неабелеву свободную подгруппу и, значит,
весьма насыщена такими подгруппами.
Изучению свободных групп посвящены работы [13, 14, 72].
В первой из них показывается, что позитивные теории без констант двух
свободных некоммутативных групп одинаковы и совпадают с позитивной теорией класса
всех групп. Различаются ли элементарные теории различных свободных групп -
до
сих пор нерешенная проблема (сформулирована А. Тарским в 1949 г.).
На сегодняшний день результат Юрия Ивановича - наиболее крупное
продвижение в решении упомянутой проблемы.
Во второй работе получен отрицательный ответ на известный
вопрос Ауэрбаха: указано циклически ограниченное по норме, но не ограниченное в
целом представление свободной группы с двумя порождающими вещественными матрицами
степени 5. В третьей работе приведены серии свободных линейных групп, заданные
тремя порождающими матрицами, элементы которых зависят от параметров,
продемонстрированы общие приемы доказательства свободы для конкретных линейных
групп.
Большой интерес вызвала работа [96], где Юрий Иванович установил неожиданную
связь между
конечно порожденной бесконечной
p-группой Алешина, появившейся на стыке
алгебры с кибернетикой, и аналогичной группой Григорчука, возникшей позднее на
стыке алгебры и теории вероятностей. В частности, оказалось, что 2-группа
Алешина изоморфна расширению посредством циклической группы четвертого порядка
подпрямого произведения четырех групп Григорчука. Поэтому работа Григорчука
может рассматриваться и "как изящное новое доказательство теоремы Алешина".
В последние годы Юрий Иванович обращается к одной из работ
Каргаполова, где с помощью сплетений строятся примеры локально
нильпотентных групп без нормализаторного условия. К сожалению, эти группы
несчетны. Юрий Иванович освобождается от несчетности и показывает [130], что любая
бесконечная группа Каргаполова не удовлетворяет нормализаторному условию. Уже
после смерти Юрия Ивановича вышла в свет его работа [134], где построены, по-видимому,
наиболее простые примеры локально нильпотентных групп без
нормализаторного условия - такими оказались финитарные
унитреугольные группы над
произвольным полем, построенные по бесконечному линейно упорядоченному
множеству.
Главные научные достижения Юрия Ивановича
сконцентрированы в двух монографиях. Первая из них -
"Основы теории групп" -
написана совместно с его учителем чл.-корр. АН СССР М. И. Каргаполовым и
задумана как учебник
по теории групп; вторая - "Рациональные группы" - посвящена теории линейных
групп. Обе монографии исключительно ёмки по содержанию, отличаются прекрасным
образным языком.
Первая из них четыре раза издавалась в России [40, 60, 90, 138],
переведена и издана
на английском языке в известной серии "Graduate Texts in Mathematics", [75]
переведена на французский [102] и польский языки [55, 114], издана в Китае. Вторая издана в
России дважды [81, 109] и содержит замкнутое изложение
классических результатов теории линейных групп над полем, включая альтернативу
Титса, а также необходимую для работы технику алгебраической геометрии.
Более 30 лет Юрий Иванович трудился в Новосибирском
государственном университете.
С 1965 года он ежегодно читал курс высшей алгебры и вел семинары. Студенты
считали его одним из лучших лекторов механико-математического факультета. Через
студенческий кружок,
где изучались "Основы теории групп", спецкурсы, а позднее
спецсеминары "Теория групп", "Эварист Галуа" и аспирантуру прошло около 20 его
учеников, многие из которых защитили
под его руководством диссертации. Он был ученым секретарем и председателем
совета по защитам диссертаций, был членом Ученого совета ММФ, активно работал
в методической комиссии, особенно в последнее время в связи с переходом
факультета на двухступенчатую систему обучения.
20 лет Юрий Иванович отдал работе в редакции журнала "Алгебра и логика" - он
был по сути дела ответственным секретарем, при нем журнал приобрел
международный авторитет. Долгое время он редактировал
"Коуровскую тетрадь" - сборник нерешенных задач теории групп, обновлявшийся
каждые два года. Около 10 лет он состоял в редакции "Математических заметок",
редактировал переиздания "Алгебры" Ван-дер-Вардена [58], "Основ линейной алгебры"
Мальцева, перевод монографии Коксетера и Мозера "Порождающие элементы
и определяющие соотношения дискретных групп" [85, 86], монографии О'Миры "Лекции о
симплектических группах", сборники переводов "Автоморфизмы классических
групп" [56], "Разрешимые и простые бесконечные группы" [89]. Многие годы он редактировал
тематические сборники статей, выпускавшиеся университетом. Юрий Иванович
написал замечательные обзоры по "Коуровской тетради" [87, 91] и по материалам
реферативного журнала "Математика" [24, 41, 71]. Почти в каждом номере
этого журнала можно найти его рефераты статей текущей периодики по теории
групп. Он был настоящим тружеником науки и иногда скромно говорил о себе: "На
самом деле, я - профессиональный редактор". Его отличала прекрасная память,
удивительная чуткость к слову, умение выражаться кратко, точно и образно.
23 января 1995 года сердце Юрия Ивановича остановилось.
Еще накануне, по дороге домой, он обсуждал со своими учениками издание
сборника трудов по алгебре и анализу, который ему уже не суждено было увидеть.
Этот сборник вышел полгода спустя и был посвящен памяти Юрия Ивановича.
Юрий Иванович прожил короткую и трагичную, но по-своему счастливую и яркую жизнь.
Он успел оставить заметный след в нашей жизни своими учебниками, научными
работами, учениками, общественной деятельностью. Он оставил нам образец
добросовестного, бескорыстного отношения к делу. Мы запомним его как талантливого
математика, большого труженика и цельного человека, открыто и мужественно
отстаивавшего свой взгляд на этот мир.