Предварительный план лекций включает в себя следующие темы.
1. История и основные результаты для классических кристаллографических групп движений евклидовой плоскости и пространства.
2. Мозаики Пенроуза, квазикристаллы и квазикристаллографические группы движений евклидова пространства.
3. Связь с кристаллографическими группами движений псевдоевклидова пространства.
4. Пример квазикристаллографической группы движений плоскости
Минковского, не допускающей невырожденной инвариантной симметрической
билинейной формы на своей квазирешетке как на свободной абелевой
группе, и потому не изоморфной кристаллографической группе в
псевдоевклидовом пространстве.
5. Ослабленная теорема Бибербаха в случае псевдоевклидовых
пространств индекса (максимальной размерности изотропного
подпространства), не превосходящего двух. Контрпримеры к ослабленной
теореме Бибербаха при индексе, большем двух, – группы с двумя
различными подгруппами, которые могут быть реализованы в качестве
решеток трансляций при различных представлениях в группах движений
псевдоевклидовых пространств (псевдоевклидовы решетки).
6. Теорема о возможных значениях корангов пересечения двух различных
псевдоевклидовых решеток в самих решетках для кристаллографической
группы. Кристаллографическая группа с двумя псевдоевклидовыми решетками
в шестимерном пространстве типа (3,3): описание всех ее решеток и всех
автоморфизмов, теорема единственности. Кристаллографическая группа,
имеющая ровно 2n псевдоевклидовых решеток.
В рамках семинаров предполагается построение геометрических объектов и соответствующих групп.
В рамках данного курса планируется провести 8 лекций.