Том 19, номер 5, 2012 г., Стр. 47-62

УДК 621.391.15
Ковалевская Д. И., Соловьёва Ф. И. 
O системах четвёрок Штейнера малого ранга, вложимых в расширенные совершенные двоичные коды

Аннотация:
Известно, что кодовые слова веса 4 расширенного совершенного двоичного кода, содержащего нулевой вектор, образуют систему четвёрок Штейнера. Предложена модификация конструкции Линднера для систем четвёрок Штейнера порядка $N=2^r$, которая может быть описана специальными свитчингами из хэмминговой системы четвёрок Штейнера. Доказано, что любая такая система четвёрок Штейнера вложима в некоторый расширенный совершенный двоичный код, построенный методом свитчингов $ijkl$-компонент из двоичного расширенного кода Хэмминга. Приводится нижняя оценка числа различных систем четвёрок Штейнера порядка $N$ ранга не более $N-\log N+1$, вложимых в расширенные совершенные коды длины $N$.
Табл. 4, библиогр. 19.

Ключевые слова: система четвёрок Штейнера, расширенный совершенный двоичный код, свитчинг, ijkl-компонента, il-компонента.

Ковалевская Дарья Игоревна ¹
Соловьёва Фаина Ивановна ^1,2
1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
пр. Акад. Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия
2. Новосибирский гос. университет,
ул. Пирогова, 2, 630090 Новосибирск, Россия
е-mail: daryik@rambler.ru, sol@math.nsc.ru

Статья поступила 14 октября 2011 г.
Исправленный вариант — 10 февраля 2012 г.

Литература

[1] Августинович С. В., Соловьева Ф. И. Построение совершенных двоичных кодов последовательными сдвигами $\tilde{\alpha}$-компонент // Проблемы передачи информации. — 1997. — Т. 33, вып. 3. — С. 15–21.

[2] Алиев И.Ш. о. Комбинаторные схемы и алгебры // Сиб. мат. журн. — 1972. — Т. 13, №. 3. — С. 499–509.

[3] Васильев Ю. Л. О негрупповых плотно упакованных кодах // Проблемы кибернетики. — 1962. — Вып. 8. — С. 337–339.

[4] Глухих Е. С. Вложимость систем троек Штейнера в совершенные коды: Магистерская диссертация. — Новосибирск: Новосибирск. гос. ун-т, 2005. — 18 c.

[5] Зиновьев В. А., Зиновьев Д. В. О разрешимости систем Штейнера $S(v = 2^m, 4, 3)$ ранга $r \le v - m + 1$ над $\mathbb {F}^2$ // Проблемы передачи информации. — 2007. — Т. 43, вып. 1. — С. 39–55.

[6] Зиновьев В. А., Зиновьев Д. В. Системы Штейнера $S(v, k, k - 1)$: компоненты и ранг // Проблемы передачи информации. — 2011. — Т. 47, вып. 2. — С. 52–71.

[7] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. — M.: Связь, 1979. — 744 с.

[8] Петренюк А. Я. Признаки неизоморфности систем троек Штейнера // Укр. мат. журн. — 1972. — Т. 24, № 6. — С. 772–780.

[9] Соловьева Ф. И. Введение в теорию кодирования. Учеб. пособие. — Новосибирск: Новосибирск. гос. ун-т, 2006. — 124 с.

[10] Холл M. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

[11] Doyen J., Hubaut X., Vandensavel M. Ranks of incidence matrices of Steiner triple systems // Math. Z. 1978. — Bd 163, Heft 3. — S. 251–259.

[12] Doyen J., Vandensavel M. Nonisomorphic Steiner quadruple systems // Bull. Soc. Math. Belg. — 1971. — Vol. 23. — P. 393–410.

[13] Hanani H. The existence and construction of balanced incomplete block designs // Ann. Math. Stat. — 1961. — Vol. 32, N 2. — P. 361–386.

[14] Lenz H. On the number of Steiner quadruple systems // Mitt. Math. Seminar Giessen. — 1985. — Vol. 169. — P. 55–71.

[15] Lindner C. C. On the construction of nonisomorphic Steiner quadruple systems // Colloq. Math. — 1974. — Vol. 29. — P. 303–306.

[16] Östergård P. R., Pottonen O. The perfect binary one-error-correcting codes of length 15: part 1. Classification // IEEE Trans. Inform. Theory. — 2009. — Vol. 55. — P. 4657–4660.

[17] Teirlinck L. On projective and affine hyperplanes // J. Comb. Theory, Ser. A. — 1980. — Vol. 28, N 3. — P. 290–306.

[18] Tonchev V. D. A formula for the number of Steiner quadruple systems on $2^n$ points of $2$-rank $2^{n} - n$ // J. Comb. Des. — 2003. — Vol. 11, N 4. — P. 260–274.

[19] Tonchev V. D. A mass formula for Steiner triple systems STS($2^{n} - 1$) of $2$-rank $2^{n} - n$ // J. Comb. Theory, Ser. A. — 2001. — Vol. 95, N 2. — P. 197–208.