Том 20, номер 4, 2013 г., Стр. 46-64

УДК 621.391.15
Ковалевская Д. И., Соловьёва Ф. И.
Системы четвёрок Штейнера малых рангов и расширенные совершенные двоичные коды

Аннотация:
С помощью свитчингового подхода указана классификация систем четвёрок Штейнера порядка $N>8$ ранга $r_N$ (на 2 отличного от ранга кода Хэмминга длины $N$), вложимых в расширенные совершенные двоичные коды длины $N$ такого же ранга. Приведены нижняя и верхняя оценки числа таких различных систем. Дано описание класса систем четвёрок Штейнера порядка $N$ ранга $r_N$, не вложимых в расширенные совершенные двоичные коды длины $N$ того же ранга, указана нижняя оценка числа таких различных систем четвёрок.
Табл. 4, библиогр. 22.

Ключевые слова: система четвёрок Штейнера, расширенный совершенный двоичный код, свитчинг, $il$- и $ijkl$-компоненты, ранг.

Ковалевская Дарья Игоревна ¹
Соловьёва Фаина Ивановна ^1,2
1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
пр. Акад. Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия
2. Новосибирский гос. университет,
ул. Пирогова, 2, 630090 Новосибирск, Россия
е-mail: daryik@rambler.ru, sol@math.nsc.ru

Статья поступила 11 октября 2012 г.
Исправленный вариант — 6 июня 2013 г.

Литература

[1] Августинович С. В., Соловьёва Ф. И. Построение совершенных двоичных кодов последовательными сдвигами $\tilde\alpha$-компонент // Пробл. передачи информ. - 1997. - Т. 33, № 3. - С. 15–21.

[2] Алиев И. Ш.-о. Комбинаторные схемы и алгебры // Сиб. мат. журн. - 1972. - Т. 13, № 3. - С. 499–509.

[3] Васильев Ю. Л. О негрупповых плотно-упакованных кодах // Пробл. кибернетики. - Вып. 8. - С. 337–339.

[4] Зиновьев В. А., Зиновьев Д. В. О кодах Васильева длины $n=2^m$ и удвоение систем Штейнера $S(n,4,3)$ заданного ранга // Пробл. передачи информ. - 2006. - Т. 42, вып. 1. - С. 13–33.

[5] Зиновьев В. А., Зиновьев Д. В. О разрешимости систем Штейнера $S(v=2^m,4,3)$ ранга $r\leq v-m+1$ над $\mathbb F^2$ // Пробл. передачи информ. - 2007. - Т. 43, № 1. - С. 39–55.

[6] Зиновьев В. А., Зиновьев Д. В. Системы Штейнера S(v, k, k−1): компоненты и ранг // Пробл. передачи информ. - 2011. - Т. 47, № 2. - C. 52–71.

[7] Ковалевская Д. И., Соловьёва Ф. И. O системах четвёрок Штейнера малого ранга, вложимых в расширенные совершенные двоичные коды // Дискрет. анализ и исслед. операций. - 2012. - Т. 19, № 5. - С. 47–62.

[8] Ковалевская Д. И., Соловьёва Ф. И., Филимонова Е. С. O системах троек Штейнера малого ранга, вложимых в совершенные двоичные коды // Дискрет. анализ и исслед. операций. - 2013. - Т. 20, №3. - С. 3–25.

[9] Кротов Д. С., Потапов В. Н. О свитчинговой эквивалентности n-арных квазигрупп порядка 4 и совершенных двоичных кодов // Пробл. передачи информ. - 2010. - Т. 46, № 3. - C. 22–28.

[10] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. - М.: Связь, 1979. - 744 c.

[11] Петренюк А. Я. Признаки неизоморфности систем троек Штейнера // Укр. мат. журн. - 1972. - Т. 24, № 6. - C. 772–780.

[12] Соловьёва Ф. И., Топалова С. Т. Совершенные двоичные коды и системы троек Штейнера с максимальными порядками групп автоморфизмов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. - 2000. - Т. 7, № 4. - С. 101–110.

[13] Doyen J., Hubaut X., Vandensavel M. Ranks of incidence matrices of Steiner triple systems // Math. - 1978. - Vol. 163. - P. 251–259.

[14] Doyen J., Vandensavel M. Nonisomorphic Steiner quadruple systems // Bull. Soc. Math. Belg. - 1971. - Vol. 23. - P. 393–410.

[15] Hanani H. On quadruple systems // Can. J. Math. - 1960. - Vol. 12. - P. 145–157.

[16] Hanani H. The existence and construction of balanced incomplete block designs // Ann. Math. Stat. - 1961. - Vol. 32, N 2. - P. 361–386.

[17] Lenz H. On the number of Steiner quadruple systems // Mitt. Math. Seminar Giessen. - 1985. - Vol. 169. - P. 55–71.

[18] Lindner C. C. On the construction of nonisomorphic Steiner quadruple systems // Colloq. Math. - 1974. - Vol. 29. - P. 303–306.

[19] Östergård P. R., Pottonen O. The perfect binary one-error-correcting codes of length 15. Part 1: classification // IEEE Trans. Inform. Theory. - 2009. - Vol. 55. - P. 4657–4660.

[20] Solov’eva F. I ., Avgustinovich S. V., Heden O. The classification of some perfect codes // Des. Codes Cryptogr. - 2004. - Vol. 31, N 3. - P. 313–318.

[21] Tonchev V. D. A formula for the number of Steiner quadruple systems on $2^n$ points of $2$-rank $2^n-n$ // J. Comb. Des. - 2003. - Vol. 11. - P. 260–274.

[22] Zinoviev V. A., Zinoviev D. V. Steiner triple systems $S(2^m-1,3,2)$ of rank $2^m-m+1$ over $F_2$ // Probl. Inform. Transm. - 2012. - Vol. 48, N 2. - P. 102–126.