Том 23, номер 3, 2016 г., Cтр. 107–123

УДК 519.8
Романов А. М.
O совершенных кодах полного ранга над конечными полями

Аннотация:
Предложена конструкция $q$-ичных 1-совершенных кодов полного ранга, которая является обобщением конструкции двоичных 1-совершенных кодов полного ранга Этциона и Варди (1994 г.). Исследованы свойства $i$-компонент $q$-ичных кодов Хэмминга, конструкция $q$-ичных 1-совершенных кодов полного ранга основана на этих свойствах. Дано обобщение свитчинговой конструкции на $q$-ичный случай. Предложено обобщение понятия $i$-компоненты 1-совершенного кода, и введено понятие ($i, \sigma$)-компоненты $q$-ичного 1-совершенного кода. Также предложено обобщение конструкции $q$-ичных 1-совершенных кодов Линдстрёма — Шёнхейма, для которого дана нижняя оценка числа различных $q$-ичных 1-совершенных кодов длины $n$.
Библиогр. 16.

Ключевые слова: код Хэмминга, нелинейный совершенный код, код полного ранга, $i$-компонента.

DOI: 10.17377/daio.2016.23.522

Романов Александр Михайлович ¹
1. Институт математики им. С. Л. Соболева,
пр. Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия
е-mail: rom@math.nsc.ru

Статья поступила 29 декабря 2015 г.
Исправленный вариант — 17 марта 2016 г.

Литература

[1] Васильев Ю. Л. О негрупповых плотно упакованных кодах // Пробл. кибернетики. 1962. Вып. 8. С. 375–378.

[2] Романов А. М. О построении совершенных нелинейных двоичных кодов инверсией символов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 1997. Т. 4, № 1. С. 46–52.

[3] Романов А. М. О разбиениях $q$-ичных кодов Хэмминга на непересекающиеся компоненты // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2004. Т. 11, № 3. С. 80–87.

[4] Романов А. М. Обзор методов построения нелинейных совершенных кодов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2006. Т. 13, № 4. С. 60–88.

[5] Романов А. М. О допустимых семействах компонент кодов Хэмминга // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2012. Т. 19, № 2. С. 84–91.

[6] Avgustinovich S. V., Krotov D. S. Embedding in a perfect code // J. Comb. Des. 2009. Vol. 17, No. 5. P. 419–423.

[7] Etzion T., Vardy A. Perfect binary codes: Constructions, properties, and enumeration // IEEE Trans. Inf. Theory. 1994. Vol. 40, No. 3. P. 754–763.

[8] Etzion T. Nonequivalent q-ary perfect codes // SIAM J. Discrete Mat. 1996. Vol. 9, No. 3. P. 413–423.

[9] Krotov D., Heden O. On the structure of non-full-rank perfect $q$-ary codes // Adv. Math. Comb. 2011. Vol. 5, No. 2. P. 149–156.

[10] Lindström B. On group and nongroup perfect codes in q symbols // Math. Scand. 1969. Vol. 25. P. 149–158.

[11] Los’ A. V. Construction of perfect q-ary codes // Proc. 9th Int. Workshop “Algebraic and Combinatorial Coding Theory” (Kranevo, Bulgaria, June 19–25, 2004). Sofia: Acad., 2004. P. 272–276.

[12] Östergård P. R. J., Pottonen O., Phelps K. T. The perfect binary one-error-correcting codes of length 15: Part II–Properties // IEEE Trans. Inform. Theory. 2010. Vol. 56, No. 6. P. 2571–2582.

[13] Phelps K. T., Villanueva M. Ranks of q-ary 1-perfect codes // Des. Codes Cryptogr. 2002. Vol. 27, No. 1–2. P. 139–144.

[14] Phelps K. T., Rifà J., Villanueva M. Kernels and $p$-kernels of $p^{r}$-ary 1-perfect codes // Des. Codes Cryptogr. 2005. Vol. 37, No. 2. P. 243–261.

[15] Romanov A. M. Hamiltonicity of minimum distance graphs of 1-perfect codes // Electron. J. Comb. 2012. Vol. 19, No. 1. P65.

[16] Schönheim J. On linear and nonlinear single-error-correcting $q$-nary perfect codes // Inform. Control. 1968. Vol. 12. P. 23–26.