Том 25, номер 4, 2018 г., Стр. 97-111

УДК 519.1
Сапоженко А. А., Саргсян В. Г.
Число $k$-сумм в абелевой группе

Аннотация:
Сумма подмножеств $A_1, \ldots , A_k$ абелевой группы $G$ определяется как совокупность всех сумм $k$ элементов из множеств $A_1, \ldots , A_k$, т. е. $A_1 + \cdots + A_k = {a_1 + \cdots + a_k | a_1 \in A_1, \ldots , a_k \in A_k}$. Подмножество, представимое в виде суммы $k$ подмножеств абелевой группы $G$, назовём $k$-суммой. Рассматривается задача о числе $k$-сумм в абелевой группе $G$. Очевидно, что любое подмножество $A$ абелевой группы $G$ является $k$-суммой, так как подмножество $A$ можно представить в виде суммы $A = A_1 + \cdots + A_k$, где $A_1 = A$ и $A_2 = \cdots = A_k = {0}$. Тем самым число $k$-сумм равно количеству всех подмножеств абелевой группы $G$. Однако если ввести ограничение на мощность слагаемых $A_1, \ldots , A_k$, то число $k$-сумм становится существенно меньше. Получены нижняя и верхняя асимптотические оценки на число $k$-сумм в абелевых группах при условии, что существует слагаемое $A_i$ такое, что $|A_i| \ge n$ log$^{q} n$ и $|A_1 + \cdots + A_{i - 1} + A_{i+1} + \cdots + A_k| \ge n$ log$^{q} n$, где $q = -1/8$ и $i \in {1, \ldots , k}$.
Библиогр. 8.

Ключевые слова: множество, характеристическая функция, группа, прогрессия, смежный класс.

DOI: 10.17377/daio.2018.25.608

Сапоженко Александр Антонович ¹
Саргсян Ваге Гнелович ¹
1. Московский гос. университет им. М. В. Ломоносова,
Ленинские горы, 1, 119991 Москва, Россия
е-mail: sapozhenko@mail.ru, vahe_sargsyan@ymail.com

Статья поступила 29 января 2018 г.
Исправленный вариант — 13 июня 2018 г.

Литература

[1] Саргсян В. Г. Число разностей в группах простого порядка // Дискрет. математика. 2013. T. 25, № 1. С. 152–158.

[2] Саргсян В. Г. Число сумм и разностей в абелевой группе // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2015. T. 22, № 2. С. 73–85.

[3] Alon N. Large sets in finite fields are sumsets // J. Number Theory. 2007. Vol. 126. P. 110–118.

[4] Alon N., Granville A., Ubis A. The number of sumsets in a finite field // Bull. Lond. Math. Soc. 2010. Vol. 42, No. 5. P. 784–794.

[5] Croot E., Lev V. F. Open problems in additive combinatorics // Additive Combinatorics. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007. P. 207–233. (CRM Proc. Lect. Notes, Vol. 43).

[6] Green B. Essay submitted for the Smith’s Prize. Cambridge: Camb. Univ., 2001.

[7] Green B., Ruzsa I. Z. Counting sumsets and sum-free sets modulo a prime // Stud. Sci. Math. Hung. 2004. Vol. 41, No. 3. P. 285–293.

[8] Green B., Ruzsa I. Z. Sum-free sets in abelian groups // Isr. J. Math. 2005. Vol. 147. P. 157–188.