author = "Гутман А.Е. and Емельянов Э.Ю. and Кусраев А.Г. and Кутателадзе С.С.",

title = "Нестандартный анализ и векторные решетки",

address = "Новосибирск",

publisher = "Изд-во Ин-та математики",

year = "1999",

pages = "x+380",

isbn = "5-86134-068-4",

annote = "Монография посвящена приложениям нестандартных методов анализа к теории векторных решеток. Основное внимание уделено проблеме комбинирования инфинитезимальных и булевозначных конструкций для исследования классических проблем теории векторных решеток, связанных с построением конкретных реализаций абстрактных функционально-аналитических объектов: пространств Банаха --- Канторовича, мажорированных операторов, векторных мер, интегральных операторов и т.п. Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся современными приложениями нестандартного анализа к проблемам функционального анализа."

author = "Gutman A.E. and Emelyanov E.Yu. and Kusraev A.G. and Kutateladze S.S.",

title = "Nonstandard analysis and vector lattices",

address = "Dordrecht",

publisher = "Kluwer Academic Publishers",

year = "2000",

pages = "xii+307",

isbn = "978-94-010-5863-6",

doi = "10.1007/978-94-011-4305-9",

annote = "The book is devoted to applications of nonstandard methods of analysis to the theory of vector lattices. Much attention is paid to the problem of combining infinitesimal and Boolean-valued concepts to studying classical problems of the theory of vector lattices related to constructing concrete representations of abstract functional-analytic objects: Banach--Kantorovich spaces, dominated operators, vector measures, integral operators, etc. This book is intended for those interested in modern applications of nonstandard analysis to problems of functional analysis."

author = "Гутман А.Е. and Емельянов Э.Ю. and Коптев А.В. and Кусраев А.Г. and Кутателадзе С.С. and Малюгин С.А.",

title = "Нестандартный анализ и векторные решетки. 2-е изд., испр. и доп.",

address = "Новосибирск",

publisher = "Изд-во Ин-та математики",

year = "2005",

pages = "x+400",

isbn = "5-86134-127-3",

annote = "Монография посвящена приложениям нестандартных методов анализа к теории векторных решеток. Основное внимание уделено проблеме комбинирования инфинитезимальных и булевозначных конструкций для исследования классических проблем теории векторных решеток, связанных с построением конкретных реализаций абстрактных функционально-аналитических объектов: пространств Банаха --- Канторовича, мажорированных операторов, векторных мер, интегральных операторов и т.п. Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся современными приложениями нестандартного анализа к проблемам функционального анализа."

author = "Гутман А.Е. and Лисовская С.А.",

title = "Принцип ограниченности для решеточно нормированных пространств",

journal = "Сиб. матем. журн.",

year = "2009",

volume = "50",

number = "5",

pages = "1050--1059",

annote = "Рассматриваются три классических факта теории нормированных пространств: принцип ограниченности, теорема Банаха --- Штейнгауза и принцип ограниченности на выпуклом компакте. С помощью методов булевозначного анализа доказываются точные аналоги этих теорем для случая решеточно нормированных пространств.",

keywords = "теорема Банаха --- Штейнгауза, пространство Банаха --- Канторовича, циклически компактное множество, булевозначный анализ"

author = "Gutman A.E. and Lisovskaya S.A.",

title = "The boundedness principle for lattice-normed spaces",

journal = "Sib. Math. J.",

year = "2009",

volume = "50",

number = "5",

pages = "830--837",

doi = "10.1007/s11202-009-0093-5",

annote = "Three classical facts of the theory of normed spaces are considered: the boundedness principle, the Banach--Steinhaus theorem, and the uniform boundedness principle for a compact convex set. By means of Boolean valued analysis, exact analogs of the theorems are proven for the case of lattice-normed spaces.",

keywords = "Banach--Steinhaus theorem, Banach--Kantorovich space, cyclically compact set, Boolean valued analysis"

author = "Гутман А.Е. and Лисовская С.А.",

howpublished = "Электронная",

title = "Принцип ограниченности для решеточно нормированных пространств",

booktitle = "Современные проблемы анализа и геометрии. Международная конференция (Новосибирск, 14--20 сентября 2009 г.): Тез. докладов",

address = "Новосибирск",

publisher = "Изд-во Ин-та математики",

year = "2009",

pages = "29",

annote = "В работе рассматриваются три классических факта теории нормированных пространств: принцип ограниченности, теорема Банаха --- Штейнгауза и принцип ограниченности на выпуклом компакте. С помощью методов булевозначного анализа доказываются точные аналоги этих принципов для случая решеточно нормированных пространств над расширенным пространством Канторовича."

author = "Гутман А.Е.",

title = "Пример использования $\Delta_1$-термов в булевозначном анализе",

journal = "Владикавк. мат. журн.",

year = "2012",

volume = "14",

number = "1",

pages = "47--63",

doi = "10.23671/VNC.2012.14.10953",

annote = "Демонстрируется использование в булевозначном анализе синтаксической техники, связанной с понятием $\Delta_1$-терма. В качестве примера рассмотрен вопрос о том, какие подходы к определению числового поля $R$ и какие полные булевы алгебры $B$ обеспечивают явное включение $R^{\land}$ в $R$ внутри булевозначного универсума $V^{(B)}$.",

keywords = "теория множеств, консервативное расширение, вещественное число, булевозначный анализ, каноническое вложение, $\sigma$-дистрибутивная булева алгебра, $\Sigma_1$-формула"

author = "Gutman A.E.",

howpublished = "Электронная",

title = "The technique of definable terms in Boolean valued analysis",

booktitle = "Мальцевские чтения. Международная конференция (Новосибирск, 11--15 ноября 2013 г.): Тез. докладов",

address = "Новосибирск",

year = "2013",

pages = "164",

annote = "A syntax technique related to the notion of $\Delta_1$ term is demonstrated by means of its applications to Boolean-valued analysis. As an example, the following question is considered: Which of the classical approaches to the definition of the field $R$ of reals and which Boolean algebras provide the explicit inclusion of $R^{\land}$ in $R$ inside the Boolean-valued universe $V^{(B)}$?"

author = "Gutman A.E. and Kusraev A.G. and Kutateladze S.S.",

title = "The growth points of Boolean valued analysis",

booktitle = "Дни геометрии в Новосибирске -- 2014. Международная конференция, посвященная 85-летию академика Ю.Г.Решетняка (Новосибирск, 24--27 сентября 2014 г.): Тез. докладов",

address = "Новосибирск",

publisher = "Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН",

year = "2014",

pages = "102",

annote = "Boolean valued analysis is a powerful method of extending the scope of mathematical theories by means of the special nonstandard models of set theory. This communication pays attention to the Continuum Hypothesis, Kantorovich spaces, and the machinery of Boolean valued analysis."

author = "Гутман А.Е.",

title = "О структуре булевозначного универсума",

journal = "Владикавк. мат. журн.",

year = "2018",

volume = "20",

number = "2",

pages = "38--48",

doi = "10.23671/VNC.2018.2.14718",

annote = "Уточнен логический механизм, стоящий за объявлением гипотез. В том числе, уделено внимание гипотезам и заключениям, представляющим собой бесконечные наборы формул. Приведены формальные определения булевозначной алгебраической системы и модели теории, определение системы термов булевозначной оценки истинности формул, подъема и перемешивания. Описаны логические взаимосвязи между принципами подъема, перемешивания и максимума. Показано, что подъем с произвольными весами может быть преобразован к подъему с постоянным весом. Введено и исследовано понятие сужения элемента булевозначной алгебраической системы. Установлено, что всякая булевозначная модель теории множеств, удовлетворяющая принципу подъема, имеет многоуровневую структуру, аналогичную кумулятивной иерархии фон Неймана.",

keywords = "теория множеств, булевозначная модель, универсум, кумулятивная иерархия"

author = "Гутман А.Е.",

title = "Булевозначный универсум как алгебраическая система. I. Основные принципы",

journal = "Сиб. матем. журн.",

year = "2019",

volume = "60",

number = "5",

pages = "1041--1062",

doi = "10.33048/smzh.2019.60.505",

annote = "Исследуются булевозначные алгебраические системы теоретико-множественной сигнатуры. Развит аппарат частичных элементов булевозначначной системы. Приведен формальный механизм использования частичных элементов и булевозначных классов в оценках истинности формул. Исследованы предикативные булевозначные классы, допускающие квантификацию. Описаны логические взаимосвязи между основными свойствами булевозначных систем --- принципами подъема, перемешивания и максимума.",

keywords = "булевозначная алгебраическая система, теория множеств, булевозначный анализ"

author = "Gutman A.E.",

title = "Boolean-valued universe as an algebraic system. I: Basic principles",

journal = "Sib. Math. J.",

year = "2019",

volume = "60",

number = "5",

pages = "810--827",

doi = "10.1134/S0037446619050057",

annote = "The paper is devoted to the study of Boolean-valued algebraic systems of set-theoretic signature. The technique of partial elements of these systems is developed. Some formal apparatus is presented for using partial elements and Boolean-valued classes in the truth values of formulas. The predicative Boolean-valued classes are studied that admit quantification. Logical interrelations are described between the basic properties of Boolean-valued systems: the transfer, mixing, and maximum principles.",

keywords = "Boolean-valued algebraic system, set theory, Boolean-valued analysis"

author = "Gutman A.E.",

title = "Cumulative structure of a Boolean-valued model of set theory",

booktitle = "International conference on Geometric Analysis in honor of the 90th anniversary of academician Yu.G.Reshetnyak (Novosibirsk, September, 22--28, 2019): Proceedings",

address = "Novosibirsk",

publisher = "Sobolev Institute of Mathematics SB RAS",

year = "2019",

isbn = "978-5-4437-0949-9",

pages = "64--66",

annote = "We show that every Bolean-valued universe has a multilevel structure analogous to the von Neumann cumulative hierarchy, in which, at each level, the ascents are added of the Boolean-valued functions defined on subsets of the previous levels. Another cumulative structure is obtained if we consider the ascents of constant functions only and add mixings at the limit steps. Such cumulative hierarchies clarify the structure of Boolean-valued systems and, in particular, make it possible to easily prove the uniqueness of a Boolean-valued universe up to isomorphism. We also present a general tool for adding ascents to Boolean-valued systems which builds the cumulative hierarchy starting from an arbitrary extensional system. This makes it possible to construct examples of Boolean-valued systems with unusual properties. By means of the tool, we show that each of the five conditions listed in the definition of a Boolean-valued universe, is essential and does not follow from the other conditions."

author = "Гутман А.Е.",

title = "Булевозначный универсум как алгебраическая система. II. Интенсиональные иерархии",

journal = "Сиб. матем. журн.",

year = "2020",

volume = "61",

number = "3",

pages = "539--571",

doi = "10.33048/smzh.2020.61.305",

annote = "Для булевозначных алгебраических систем теоретико-множественной сигнатуры исследованы понятия транзитивности, регулярности и $\sigma$-регулярности. Введено понятие универсума над произвольной экстенсиональной булевозначной системой и предложено описание структуры универсума посредством различных иерархий. Полученные результаты использованы для доказательства единственности булевозначного универсума с точностью до единственного изоморфизма.",

keywords = "булевозначная алгебраическая система, теория множеств, булевозначный анализ, универсум, кумулятивная иерархия"

author = "Gutman A.E.",

title = "Boolean-valued universe as an algebraic system. II: Intensional hierarchies",

journal = "Sib. Math. J.",

year = "2020",

volume = "61",

number = "3",

pages = "426--452",

doi = "10.1134/S0037446620030052",

annote = "For Boolean-valued algebraic systems of set-theoretic signature, the notions of transitivity, regularity, and $\sigma$-regularity are studied. The notion of a universe over an arbitrary extensional Boolean-valued system is introduced. A description is proposed of the structure of the universe by means of various hierarchies. The results are used for proving the uniqueness of a Boolean-valued universe up to a unique isomorphism.",

keywords = "Boolean-valued algebraic system, set theory, Boolean-valued analysis, universe, cumulative hierarchy"

author = "Gutman A.E.",

title = "Boolean-valued set-theoretic systems: General formalism and basic technique",

journal = "Mathematics",

year = "2021",

volume = "9",

number = "9",

article = "1056",

pages = "78",

doi = "10.3390/math9091056",

annote = "The article is devoted to the study of the Boolean-valued universe as an algebraic system. We start with the logical backgrounds of the notion and present the formalism of extending the syntax of Boolean truth values by the use of definable symbols, internal classes, outer terms, and external Boolean-valued classes. Next, we enrich the collection of Boolean-valued research tools with the technique of partial elements and the corresponding joins, mixings, and ascents. Passing on to the set-theoretic signature, we prove that bounded formulas are absolute for transitive Boolean-valued subsystems. We also introduce and study intensional, predicative, cyclic, and regular Boolean-valued systems, examine the maximum principle, and analyze its relationship with the ascent and mixing principles. The main applications relate to the universe over an arbitrary extensional Boolean-valued system. A close interrelation is established between such a universe and the intensional hierarchy. We~prove the existence and uniqueness of the Boolean-valued universe up to a unique isomorphism and show that the conditions in the corresponding axiomatic characterization are logically independent. We also describe the structure of the universe by means of several cumulative hierarchies. Another application, based on the quantifier hierarchy of formulas, improves the transfer principle for the canonical embedding in the Boolean-valued universe.",

keywords = "Boolean-valued universe, algebraic system, set theory, cumulative hierarchy"

author = "Гутман А.Е.",

title = "Булевозначный анализ: Увидеть простое в сложном",

booktitle = "Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования, XVI. Теория операторов и дифференциальные уравнения» (Владикавказ, 20--25 сентября 2021 г.): Тез. докладов",

address = "Владикавказ",

publisher = "ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А",

year = "2021",

pages = "1",

annote = "Вниманию слушателей предлагается рассказ о булевозначных моделях теории множеств. Это очень необычные модели с очень необычной логикой. Утверждения в таких моделях не обязаны быть истинными или ложными, и их истинность может принимать промежуточные значения. Именно с помощью этой идеи в свое время была успешно решена самая знаменитая математическая задача XX века --- проблема континуума."

author = "Gutman A.E.",

title = "A sentence preservation theorem for Boolean algebras",

journal = "J. Math. Sci.",

year = "2023",

pages = "8",

doi = "10.1007/s10958-023-06599-4",

annote = "At the initial stages of studying the theory of Boolean algebras, before trying to prove or disprove any simple sentence, students are usually asked to test their intuition using Venn diagrams or truth tables. A natural question arises: is it necessary to invent a proof after a positive check of this kind? Isn't such a check itself a rigorous proof of the verified sentence? And if this is not true in the general case, for which sentences is this true? We answer the question and prove an analog of the Jech Theorem for arbitrary (not necessarily complete) Boolean algebras.",

keywords = "Boolean algebra, Venn diagram, truth table, Horn formula"

author = "Гутман А.Е. and Кусраев А.Г.",

title = "Булевозначный анализ и проблема Викстеда",

booktitle = "Математический форум. Т. 14. Вводные лекции по современной математике (Проект OTDE-Workshop)",

address = "Владикавказ",

publisher = "ЮМИ ВНЦ РАН",

year = "2023",

isbn = "978-5-904695-46-0",

pages = "11--48",

annote = "Цель настоящего миникурса, состоящего из четырех лекций, --- эскизное изложение основ булевозначного анализа и его применения к одной проблеме из теории линейных операторов в векторных решетках.",

keywords = "пространство Канторовича, проблема Викстеда, функциональное уравнение Коши, расширение поля, булевозначное моделирование, спуски и подъемы, булевозначные числа"