ЧТО ТАКОЕ БУЛЕВОЗНАЧНЫЙ АНАЛИЗ? ^*

Расширенный вариант доклада доступен в формате PDF.

...a form of reasoning which transcends reasoning...
S. Bochner

Термин «булевозначный анализ» возник в пределах математической логики. В употребление его ввел выдающийся специалист по теории доказательств Гайси Такеути, который сейчас является президентом общества Курта Гёделя.

Такеути определил булевозначный анализ как приложение к анализу булевозначных моделей теории множеств, построенных Дана Скоттом и Робертом Соловеем. Аналогичные модели в те же времена предложил Пётр Вопенка. Тем самым вопрос, вынесенный в заголовок, получает некоторый ответ в нулевом приближении. Однако заканчивать на этом было бы рано. Уместно обсудить более подробно следующие три вопроса:

В науке мы нередко руководствуемся любопытством, а еще чаще занимаемся тем, что получается. Однако ценим мы в науке то, что делает нас умнее. Булевозначный анализ обладает такой ценностью, расширяя объем наших знаний и снимая шоры категоричности с глаз совершенного математика — математика par excellence. Главная цель доклада — обосновать этот тезис.

Часть ответа уже дана — чтобы стать умнее. Есть и другое, не менее важное обстоятельство. Булевозначный анализ не только связан со многими топологическими и геометрическими идеями, но и предоставляет технологию расширения содержания уже доказанных теорем. Каждая теорема, доказанная классическими средствами, обладает новым неочевидным содержанием, относящимся к «переменным» множествам. Точнее говоря, любая доказанная теорема порождает новое семейство теорем, занумерованное всевозможными полными булевыми алгебрами или, что тоже самое, негомеоморфными стоуновыми пространствами.

Ответу на этот вопрос будет посвящены как содержательная, так и техническая части доклада. В центре внимания будут общие методы, независящие от тонких внутренних свойств исходной полной булевой алгебры. Эти приемы просты, наглядны и удобны в обращении, а потому могут пригодиться любому работающему математику.

Дана Скотт предвидел роль булевозначных моделей в математике еще в 1969 г.: «Следует спросить — интересны ли нестандартные модели помимо доказательства независимости? Иначе говоря, представляют ли они хоть какой-либо математический интерес? Ответ обязан быть утвердительным, хотя пока мы не можем привести в пользу этого по-настоящему хорошие аргументы». Сегодня нам такие впечатляющие аргументы известны.

Следует помнить при этом, что булевозначные модели теории множеств были придуманы ради того, чтобы упростить изложение метода форсинга Поля Коэна. Математика немыслима без доказательств. Nullius in Verba. Стать умнее без собственных усилий нереально. Поэтому часть времени будет отведена схеме доказательства независимости отрицания континуум-гипотезы от аксиом ZFC. Именно за этот результат сорок лет назад в 1966 г. Коэну была присуждена Филдсовская медаль.

Математика — древнейшая наука. Однако сначала было слово. Полезно помнить, что старинный «логос» живет не в грамматике, а в логике и логистике. Порядок в мыслях и порядок хранения — драгоценные дары наших пращуров.

На интеллектуальном поле не действует закон убывающего плодородия. Чем больше мы узнаем, тем значительнее становится граница с незнаемым, тем чаще мы сталкиваемся с неведомым. Двадцатый век обогатил наши геометрические представления понятиями пространства-времени и фрактальности. Каждое конкретное знание — это событие, элемент пространства Минковского. Познанное нами образует явно ограниченное множество знаний. Рубежи науки составляют границу познанного с неведомым, которая несомненно фрактальна и у нас нет никаких оснований предполагать её спрямляемость или измеримость. Стоит при этом отметить, что маршруты к передовым границам науки, прокладываемые преподавателями в сфере образования, достаточно гладкие. Педагогика не любит скачков и резкой смены сложившейся парадигмы. Возможно, что эти топологические препятствия отражают объективные трудности модернизации образования.

Не счесть доказательств фрактальности границы знания и незнания. Среди них такие негативные явления, как безудержный рост псевдонауки, мистицизма и иных форм мракобесия, заползающих во все лакуны непознанного. Проявлениями фрактальности служат также самые неожиданные, прекрасные и поразительные взаимосвязи внешне далеких отраслей и разделов науки.

Революционные изменения математики на рубеже XIX и XX веков связаны не только с новым исчислением бесконечностей, созданным Кантором в его теории множеств. Не меньшее значение имели становление и развитие математической логики, подвергшей строгому анализу сам процесс математического доказательства. Разрешимость и неразрешимость, доказуемость и недоказуемость, противоречивость и непротиворечивость вошли в исследовательский лексикон совершенного математика. Математика стала рефлексивной наукой, занятой не только поиском истины, но и изучающей собственные способы ее поиска.

Логика Аристотеля, апории Зенона, бритва Вильяма из Оккама, осел Буридана, Calculemus Лейбница и алгебры Буля — выдающиеся достижения человеческого гения, осветившие дорогу к новому этапу логических исследований. Готлоб Фреге обесмертил свое имя, создав исчисление предикатов — основу современной математической логики. Двадцатый век отмечен стремительным проникновением идей математическиой логики во многие разделы науки и техники. Логика не только организует и упорядочивает мышление, но и освобождает нас от догматизма при выборе объектов и методов математического анализа. Логика наших дней — важнейший инструмент и институт математической свободы. Булевозначный анализ служит тому блестящим подтверждением.

Понятие континуума относится к числу важнейших в общенаучном инструментарии. Математические воззрения на континуум родственны физическим представлениям о времени и связанных с ним переменах. Достаточно сослаться на великих Ньютона и Лейбница, по разному воспринимавших континуум. Плавное течение, образ прибывающих и убывающих текучих аргументов, непрерывно порождающих изменения зависящих от них переменных величин, лежат в основе мировоззрения Ньютона и его метода первых и последних отношений. Принципиальное затруднение представлений Ньютона связано с невозможностью вообразить непосредственно предшествующий момент времени,ближайшую к данной, соседнюю точку числового континуума. Для Лейбница переменная величина кусочно постоянна в бесконечно малом с точностью до недоступных ощущению величин высших порядков. Континуум для него распадается в набор непересекающихся монад, совершенно особых идеальных сущностей. Воззрения Ньютона и Лейбница суммируют идеи, восходящие к глубокой древности. Математики Древней Эллады различали точки и монады, эксплицирую двойственную природу геометрических и числовых объектов математики. От пращуров сквозь века пришла к нам тайна устройства континуума.

Проблема континуума стояла первой в знаменитом докладе Давида Гильберта. Убежденный anti-ignorabimus, Гильберт склонялся к справедливости гипотезы континуума. Одна из самых ярких и красивых его статей, классическое сочинение «О бесконечности», датированное 1925 г. и содержащее знаменитую фразу о канторовом рае, посвящена на самом деле ошибочному доказательству гипотезы континуума. Русский провидец Николай Николаевич Лузин считал несостоятельным простое предположение о независимости гипотезы континуума. Гёдель доказал совместимость гипотезы континуума с аксиомами ZFC. Коэн установил совместимость отрицания гипотезы континуума с аксиомами теории ZFC с помощью форсинга, изобретенного им нового метода изменения свойств имеющихся или гипотетических моделей теории множеств. Булевозначные модели сделали трудный результат Коэна простым, продемонстрировав работающему математику независимость гипотезы континуума с той же наглядностью, что и модель Анри Пуанкаре для неевклидовой геометрии.

Возвращаясь к исходному определению булевозначного анализа, данному Такеути, мы должны констатировать его чрезмерную широту. Булевозначная модель, основанная на дилемме «истина» или «ложь», неявно используется подавляющим большинством математиков. Наши беседы на семинарах не заслуживают квалификации произведений прозы. По аналогии, вряд ли стоит говорить, что Эйлер, Коши и Абель занимались булевозначным анализом.

Булевозначный анализ — это специальная математическая техника, основанная на оценке истинности с помощью нетривиальной булевой алгебры.

С теоретико-категорной точки зрения булевозначный анализ — это теория булевых топосов.

С топологической точки зрения булевозначный анализ — теория непрерывных поливерсумов на стоуновых пространствах.

Эрнст Мах учил нас экономии мышления. Возможно, следует применить его принцип и сократить громоздкий термин «булевозначный анализ». Математизация законов мышления восходит к Джорджу Булю и достойна лапидарного титула «булев анализ».