|
|
Теория
и приложения сплайнов
Методы, основанные на сплайнах, заняли прочное место среди наиболее мощных
средств вычислительной математики. Если еще в начале 70-х годов слово "сплайн"
звучало подчас экзотически даже для многих математиков, то в настоящее время
оно стало общепринятым не только среди специалистов по теории приближения
и вычислительной математики, но и среди инженеров, связанных с решением
прикладных задач на ЭВМ. Популярность сплайнов объясняется в основном двумя
причинами.
Во-первых, сплайны представляют собой чрезвычайно мощное и гибкое средство
решения разнообразных задач приближения функций. А эти задачи, помимо их
самостоятельного значения, лежат в основе многих методов вычислительной
математики.
Во-вторых, алгоритмы, построенные с помощью сплайнов, эффективно реализуются
на ЭВМ.
Уместно заметить, что сплайны возникли и получили развитие в ответ на запросы
практики, в то время когда выяснилась несостоятельность классических методов
приближения, например алгебраическими и тригонометрическими полиномами,
при решении важнейших прикладных задач. Сплайны оправдали возлагавшиеся
на них надежды. Они и сейчас находятся на переднем крае приложений математики.
Их развитие продолжается, а возможности далеко не исчерпаны. В Институте
математики работы по теории и приложениям сплайнов начаты в середине 60-годов
под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю. С. Завьялова
(1931-1998). Он был в числе пионеров в развитии этого нового направления
вычислительной математики в стране.
Характерной особенностью школы по сплайнам, созданной Ю. С. Завьяловым,
является тесная связь теоретических исследований с решением прикладных
задач. Поэтому значительные усилия были посвящены в первую очередь исследованию
кубических сплайнов, которые наиболее часто используются в вычислительной
практике.
В этом направлении получены следующие результаты:
- изучены вопросы, связанные с алгоритмами построения интерполяционных,
сглаживающих и локально-аппроксимационных сплайнов одной и многих переменных;
- получены оценки (во многих случаях точные) погрешности приближения
кубическими сплайнами;
- предложены различные конструкции обобщенных кубических сплайнов;
- разработан метод сплайн-коллокации для решения краевых задач.
Исследованы вопросы, связанные с устойчивостью алгоритмов построения полиномиальных
сплайнов произвольной нечетной степени. Полностью решена задача об асимптотическом
разложении погрешности приближения для периодических сплайнов произвольной
степени на равномерной сетке.
Разработаны методы аппроксимации кривых и поверхностей параметрическими
сплайнами. Эти методы служат базой для математического
моделирования объектов сложной геометрической формы.
Детально исследована задача об интерполяции с сохранением свойств монотонности
и выпуклости исходных данных (изогеометрическая интерполяция).
В последнее время большое внимание уделяется разработке методов аппроксимации
функций многих переменных по ее значениям, известным в хаотически расположенных
точках.
Исследования по теории и приложениям сплайнов выполняются в лаборатории
теории сплайн-функций. При этом параллельно с изучением теоретических
вопросов ведется работа по созданию программного обеспечения для решения
различных задач сплайновыми методами.
|
 |
