С е р г е й Л ь в о в и ч С о б о л е в

Ключевае слова: гиперболические уравнения, малые колебания вращающейся жидкости, обобщенная производная, обобщенное решение дифференциального уравнения, пространства Соболева, теоремы вложения, теория вложений для абстрактных функций, теория вложения пространств дифференцируемых функций , уравнения и системы, не разрешенные относительно старших производных по времени, шкалы функциональных пространств

 

Работа в Математическом институте
им. В.А.Стеклова

 С 1932 г. Сергей Львович работал в Математическом институте им. В.А. Стеклова в Ленинграде, а затем с 1934 г. в Москве. В этот период он продолжил изучение гиперболических уравнений. Сергей Львович предложил новый метод решения задачи Коши для гиперболического уравнения с переменными коэффициентами, основанный на обобщении формулы Кирхгофа. Используя соотношения на характеристическом конусе, он свел задачу к интегральному уравнению типа Вольтерра, которое решается с помощью обычных последовательных приближений. Новый метод явился развитием прежнего, предложенного им для решения задачи Коши для волнового уравнения в неоднородной среде. С.Л. Соболев также изучил условия существования аналитического решения задачи Гурса. Работы, связанные с гиперболическими уравнениями, привели Сергея Львовича к пересмотру классического понятия решения дифференциального уравнения.

Понятие обобщенного решения дифференциального уравнения рассматривалось и ранее некоторыми математиками, например, Н.М. Гюнтером и К.О. Фридрихсом. Однако именно в работах С.Л. Соболева это понятие впервые получило систематическое применение и глубокое развитие. Рассмотрение С.Л. Соболевым решений в пространствах функционалов положило начало теории обобщенных функций. Сергей Львович в 1933-1935гг. опубликовал цикл исследований по задаче Коши для гиперболических уравнений, в которых были установлены разрешимость и единственность решения задачи Коши в пространствах обобщенных функций. Эти работы сыграли важную роль в развитии современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Аппарат обобщенных функций вызвал к жизни новые методы в теории уравнений с частными производными, которые позволили решить ряд давно стоявших проблем, придать окончательную форму многим ранее полученным результатам, поставить и решить ряд новых задач. Новый аппарат и связанные с ним понятия и методы, особенно бурно развивавшиеся в 50-е годы в работах Л. Шварца и последовавших за ними исследованиях, изменили за короткий срок облик многих разделов теории уравнений с частными производными.
Определив понятие обобщенной производной, С.Л. Соболев ввел в математику пространства функций, обобщенные производные которых интегрируемы в некоторой фиксированной степени. Эти объекты теперь называют пространствами Соболева.

Пусть f и g- локально суммируемые функции, определенные в открытом подмножестве G пространства Rn, а a - некоторый мультииндекс. Функция g называется обобщенной производной функции f в смысле С.Л. Соболева или слабой производной порядка a и обозначается Daf, если для всякой пробной функции f, т.е. такой, что носитель f компактен и лежит в G и f непрерывно дифференцируемa |a| = a1+ ...+an раз в G, выполняется равенство

где Daf - классическая производная f порядка a.
Подпространство Wpl векторного пространства (классов эквивалентных) локально суммируемых функций f на G, имеющих в G все обобщенные производные Daf при
,
суммируемые в степени p, где
,
становится банаховым пространством, если в нем ввести норму, например, следующего вида

Сергей Львович нашел общие критерии эквивалентности различных норм в Wpl и показал, что ставить краевые задачи для эллиптических уравнений наиболее естественно в терминах этих пространств. Такой вывод базировался на глубоком изучении свойств введенных им пространств, важнейшими из которых являются теоремы вложения. Суть теорем вложения, найденных С.Л.Соболевым и ставших классическими, состоит в специальных неравенствах между нормами одной и той же функции, рассматриваемой как элемент различных пространств. Неравенства С.Л.Соболева включают в себя в качестве частных случаев интегральные неравенства, установленные ранее А.Пуанкаре, В.А.Стекловым, Г.Г.Харди, Дж.Е.Литтлвудом и другими. Опираясь на теоремы вложения, С.Л.Соболев нашел корректную постановку краевых задач для эллиптических уравнений в многомерных областях, когда краевые условия заданы на многообразиях различных размерностей, и доказал существование и единственность решений этих задач. Созданная С.Л.Соболевым теория вложения пространств дифференцируемых функций успешно развивается. Получил дальнейшее развитие аппарат интегральных представлений функций, распространенный на анизотропные случаи. Найдены новые шкалы функциональных пространств. Для этих функциональных пространств обнаружены новые теоремы вложения, исследована компактность оператора вложения, найдены связи между различными пространствами, изучена возможность и скорость различного рода аппроксимаций.

В современных исследованиях стал классическим разработанный С.Л.Соболевым аппарат интегральных представлений функций, срезающих и усредняющих функций, проекционных операторов и т.д.

Научные результаты Сергея Львовича принесли ему заслуженное и широкое признание. В 1933г. в возрасте 24 лет С.Л.Соболев избран членом-корреспондентом Академии наук, а в 1939г. он стал ее действительным членом. Тогда он был и долго оставался самым молодым академиком в нашей стране. В 1941г. за работы по математической теории упругости С.Л.Соболеву была присуждена Государственная премия.

В 1958г. Сергей Львович еще раз вернулся к тематике вложения функциональных пространств и построил теорию вложений для абстрактных функций, которая тесно связана с краевыми задачами для квазилинейных уравнений с частными производными. При этом им было проведено глубокое исследование по теории интегрирования абстрактных функций.

Начало большому направлению в теории дифференциальных уравнений в частных производных - изучению поведения при больших значениях времени решений краевых задач для нестационарных уравнений, положили работы С.Л.Соболева о почти-периодичности решений волнового уравнения. В работах С.Л.Соболева, опубликованных в 1945г., была доказана почти-периодичность решений смешанной задачи для уравнений 2-го порядка гиперболического типа. Почти-периодичность вытекала из оценки интеграла от суммы квадратов вторых производных решения указанной задачи как функции времени. Здесь также нашли применение теоремы вложения.

В сороковых годах в связи с прикладными задачами С.Л.Соболев начал изучение системы дифференциальных уравнений, описывающей малые колебания вращающейся жидкости. С.Л.Соболев пришел к этой системе, исследуя устойчивость движения вращающегося волчка, имеющего полость, заполненную идеальной жидкостью. С.Л.Соболев получил условия устойчивости вращающегося волчка с полостью, заполненной жидкостью, в зависимости от формы полости и ее параметров, разобрав подробно случаи цилиндрической полости и полости - эллипсоида вращения. При изучении этой задачи С.Л.Соболевым впервые была поставлена и исследована задача о спектре оператора, являющегося эрмитовым относительно некоторой индефинитной метрики. В связи с этими исследованиями Сергея Львовича возникло еще одно новое направление в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных - исследование решений задачи Коши и краевых задач для уравнений и систем, не разрешенных относительно старших производных по времени. Для систем такого типа изучены вопросы корректности задачи Коши, в частности, найдены условия, аналогичные условиям Петровского корректности постановки задачи Коши для систем, разрешенных относительно старших производных по времени.

Далее Начало Главная ИМ СО РАН