next up previous index
Next:  Распределение Стьюдента   Up:  Распределения, связанные с нормальным   Previous:  Гамма-распределение и его свойства

6.2.   Распределение «хи-квадрат» и его свойства

Из свойства 7 и свойства 8 непосредственно следует утверждение:

Следствие 2.

Если $\xi_1$, $\ldots$, $\xi_k$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение, то случайная величина

\begin{displaymath} \chi_k^2=\xi_1^2+\ldots+\xi_k^2 \end{displaymath}

имеет гамма-распределение $\Gamma_{1/2, k/2}$.

Определение 16.

Распределение суммы $k$ квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин называют распределением «хи-квадрат» с $k$ степенями свободы и обозначают ${\mathsf H}_k$. Согласно следствию 2, распределение ${\mathsf H}_k$ совпадает с $\text{\boldmath\ensuremath \Gamma}_{1/2,k/2}$.

На графике ниже изображены плотности распределения ${\mathsf H}_k=\text{\boldmath\ensuremath \Gamma}_{1/2,k/2}$ при $k$ равном 1, 2, 4 и 8.

Упражнение.    Доказать, что при $k\geqslant 2$ максимум плотности распределения ${\mathsf H}_k$ достигается в точке $k-2$.


Вид плотности $\chi^2$-распределения в зависимости от числа степеней свободы


Мы часто будем обозначать через $\chi^2_k$ случайную величину с распределением ${\mathsf H}_k$.

Рассмотрим свойства $\chi^2$-распределения:

1.
Устойчивость по суммированию. 

Пусть случайная величина $\chi^2_k$ имеет распределение ${\mathsf H}_k$, случайная величина $\chi^2_m$ имеет распределение ${\mathsf H}_m$, причем эти случайные величины независимы. Тогда их сумма $\chi^2_k+\chi^2_m$ имеет распределение ${\mathsf H}_{k+m}$.

Доказательство.  Пусть $\xi_1$, $\xi_2$, $\ldots$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда

\begin{displaymath} \chi^2_k \textrm{ распределено как } \xi_1^2+\ldots+\xi_k^2,... ...2_m \textrm{ распределено как } \xi_{k+1}^2+\ldots+\xi_{k+m}^2,\end{displaymath}

а их сумма — как $\xi_1^2+\ldots+\xi_{k+m}^2$, т.е. имеет распределение $H_{k+m}$.

Q.D.E.

2.
Моменты распределения $\chi^2$.

Если $\chi^2_k$ имеет распределение ${\mathsf H}_k$, то \begin{displaymath} {\mathsf E}\,\chi^2_k=k\quad \textrm{ и } \quad {\mathsf D}\,\chi^2_k=2k.\end{displaymath}

Доказательство.  Пусть $\xi_1$, $\xi_2$, $\ldots$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда

\begin{displaymath} {\mathsf E}\,\xi_1^2=1,\quad \quad {\mathsf D}\,\xi_1^2={\mathsf E}\,\xi_1^4-({\mathsf D}\,\xi_1^2)^2=3-1=2\end{displaymath}

(см. пример 20). Поэтому

\begin{displaymath} {\mathsf E}\,\chi^2_k={\mathsf E}\,(\xi_1^2+\ldots+\xi_k^2)=... ...sf D}\,\chi^2_k={\mathsf D}\,(\xi_1^2+\ldots+\xi_k^2)=2k. \qed\end{displaymath}

Q.D.E.

Следствие 3.

Если $\xi_1$, $\ldots$, $\xi_k$ независимы и имеют нормальное распределение ${\mathsf N}_{a,\sigma^2}$, то

\begin{displaymath} \chi_k^2=\sum_{i=1}^k\left(\dfrac{\xi_i-a}{\sigma}\right)^2 \end{displaymath}

имеет $\chi^2$-распределение ${\mathsf H}_k$ с $k$ степенями свободы.

Упражнение.    Доказать следствие 3.
Упражнение.    Как, пользуясь таблицей стандартного нормального распределения, найти квантиль заданного уровня для $\chi^2$-распределения с одной степенью свободы?


N.I.Chernova
9 сентября 2002