Том 9, серия 2, номер 2 , 2002 г., Стр. 41-77
УДК 519.852
В. И. Ерохин
Оптимальная матричная коррекция и регуляризация несовместных линейных моделей
Аннотация:
Для несовместных систем линейных алгебраических уравнений и аналогичных систем с дополнительным условием неотрицательности
переменных рассматриваются задачи коррекции всех коэффициентов
их матриц и расширенных матриц, а также задачи регуляризации
решений скорректированных систем.
Для задач коррекции предпринята попытка обобщения многочисленных
частных матричных показателей качества коррекции введением
критерия качества в виде минимума $\|\cdot\|_{\varphi,\psi}$ – нормы, которая для некоторой матрицы коррекции
$\mathbf H\in\mathbb R^{m\times n}$ задается как
$\max\limits_{\mathbf x\ne\mathbf 0}\frac{\psi(\mathbf H\mathbf x)}{\varphi(\mathbf x)}$,
где
$\psi(\cdot)$ – произвольная векторная норма, определенная на пространстве $\mathbb R^m$,
$\varphi(\cdot)$ – произвольная векторная норма, определенная на пространстве $\mathbb R^n$.
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости
данных задач и достаточные условия единственности решения
скорректированных систем, а сами задачи коррекции сведены
к задачам $n$-мерной безусловной или условной минимизации.
Проблема регуляризации решения скорректированной системы
рассматривается как модифицированная задача матричной
коррекции, в которой норма решения скорректированной системы минимизируется
при ограничениях на верхнее значение нормы корректирующей
матрицы и верхнее значение
нормы решения скорректированной системы.
Для указанной проблемы также получены достаточные условия существования решения,
а сама проблема сведена либо к задачам $n$-мерной условной
минимизации, либо к $n$-мерным минимаксным
задачам.
Для случая, когда несовместная линейная система задает пустую
допустимую область некоторой задачи линейного программирования,
получены достаточные условия существования одноранговых
матриц коррекции, гарантирующих непустоту и ограниченность
скорректированной допустимой области, и, как следствие, существование решения
соответствующей задачи линейного программирования.
Библиогр. 14.
Ерохин В. И. 1
1. Борисоглебский государственный педагогический институт,
ул. Народная, 43, 397160 Борисоглебск, Воронежская обл., Россия
е-mail: bgpi@mail.ru, bgpi@vmail.ru
Статья поступила 16 сентября 2002 г.
|