Том 9, серия 2, номер 2 , 2002 г., Стр. 41-77

УДК 519.852
В. И. Ерохин
Оптимальная матричная коррекция и регуляризация несовместных линейных моделей

Аннотация:
Для несовместных систем линейных алгебраических уравнений и аналогичных систем с дополнительным условием неотрицательности переменных рассматриваются задачи коррекции всех коэффициентов их матриц и расширенных матриц, а также задачи регуляризации решений скорректированных систем. Для задач коррекции предпринята попытка обобщения многочисленных частных матричных показателей качества коррекции введением критерия качества в виде минимума $\|\cdot\|_{\varphi,\psi}$ – нормы, которая для некоторой матрицы коррекции $\mathbf H\in\mathbb R^{m\times n}$ задается как $\max\limits_{\mathbf x\ne\mathbf 0}\frac{\psi(\mathbf H\mathbf x)}{\varphi(\mathbf x)}$, где $\psi(\cdot)$ – произвольная векторная норма, определенная на пространстве $\mathbb R^m$, $\varphi(\cdot)$ – произвольная векторная норма, определенная на пространстве $\mathbb R^n$. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости данных задач и достаточные условия единственности решения скорректированных систем, а сами задачи коррекции сведены к задачам $n$-мерной безусловной или условной минимизации. Проблема регуляризации решения скорректированной системы рассматривается как модифицированная задача матричной коррекции, в которой норма решения скорректированной системы минимизируется при ограничениях на верхнее значение нормы корректирующей матрицы и верхнее значение нормы решения скорректированной системы. Для указанной проблемы также получены достаточные условия существования решения, а сама проблема сведена либо к задачам $n$-мерной условной минимизации, либо к $n$-мерным минимаксным задачам. Для случая, когда несовместная линейная система задает пустую допустимую область некоторой задачи линейного программирования, получены достаточные условия существования одноранговых матриц коррекции, гарантирующих непустоту и ограниченность скорректированной допустимой области, и, как следствие, существование решения соответствующей задачи линейного программирования.
Библиогр. 14.

Ерохин В. И. ¹
1. Борисоглебский государственный педагогический институт,
ул. Народная, 43, 397160 Борисоглебск, Воронежская обл., Россия
е-mail: bgpi@mail.ru, bgpi@vmail.ru

Статья поступила 16 сентября 2002 г.