Том 20, номер 3, 2013 г., Стр. 45-64

УДК 519.1
Саргсян В. Г.
О максимальной мощности множества, $k$-свободного от нуля, в абелевой группе

Аннотация:
Подмножество $A$ элементов группы $G$ называется $k$-свободным от нуля, если уравнение $x_1+x_2+\dots+x_k=0$ не имеет решения в множестве $A$. Множество $A$, $k$-свободное от нуля в группе $G$, называется максимальным, если для любого $x\in G\setminus A$ множество $A\cup\{x\}$не является $k$-свободным от нуля. Получены оценки максимальной мощности множества, $k$-свободного от нуля. В частности, определена максимальная мощность арифметической прогрессии, $k$-свободной от нуля, в циклической группе $Z_n$ и найдены верхние и нижние оценки максимальной мощности множества, $k$-свободного от нуля, в абелевой группе $G$. Описана структура максимального множества $A$, $k$-свободного от нуля, в циклической группе $Z_n$ при условии $\text{НОД}(n,k)=1$ и $k|A|\ge n+1$.
Библиогр. 8.

Ключевые слова: $k$-свободное от нуля множество, группа вычетов, нетривиальная подгруппа, смежный класс, арифметическая прогрессия.

Саргсян Ваге Гнелович ¹
1. Московский гос. университет им. М. В. Ломоносова,
Ленинские горы, 119991 Москва, Россия
е-mail: vahe_sargsyan@ymail.com

Статья поступила 18 июля 2013 г.

Литература

[1] Курош А. Г. Теория групп.  - М: Наука, 1967.  - 648 с.

[2] Bajnok B. On the maximum size of a (k, l)-sum-free subset of an Abelian group // J. Number Theory.  - 2009.  - Vol. 5, N 6.  -P. 953–971.

[3] Diananda P. H., Yap H. P. Maximal sum-free sets of elements of finite groups // Proc. Japan Acad.  - 1969.  - Vol. 45.  - P. 1–5.

[4] Green B., Ruzsa I. Sum-free sets in Abelian groups // Israel J. Math.  - 2005.  - Vol. 147.  - P. 157–188.

[5] Hamidoune Y. O., Plagne A. A new critical pair theorem applied to sum-free sets in Abelian groups // Comment. Math. Helv.  - 2004.  - Vol. 79.  - P. 183–207.

[6] Mann H. B. Addition theorems: the addition theorems of group theory and number theory. (Pure Appl. Math. Wiley Ser. Texts, Monogr. Tracts; Vol. 18)  - New York: John Wiley, 1965.  - 114 p.

[7] Nathanson M. B. Additive number theory: inverse problems and the geometry of sumsets.  - Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1996. (Grad. Texts Math.; Vol. 165).  - 312 p.

[8] Olson J. E. On the sum of two sets in a group // J. Number Theory.  - 1984.  - Vol. 18, N 18. - P. 110–120.