Том 26, номер 2, 2019 г., Стр. 129-144

УДК 519.1
Сапоженко А. А., Саргсян В. Г.
Асимптотика логарифма числа наборов, ($k, l$)-свободных от решений, в отрезке натуральных чисел

Аннотация:
Набор $(A_1, \ldots , A_{k+l})$ подмножеств отрезка натуральных чисел $[1, n]$ называется $(k, l)$-свободным от решений, если не существует набора $(a_1, \ldots , a_{k+l}) \in A_1 \times \cdots \times A_{k+l}$, являющегося решением уравнения $x_1 + \cdots + x_k = x_{k+1} + \cdots + x_{k+l}$. Получена асимптотика логарифма числа наборов, $(k, l)$-свободных от решений, в отрезке натуральных чисел $[1, n]$.
Библиогр. 17.

Ключевые слова: множество, группа, смежный класс, характеристическая функция, прогрессия.

DOI: 10.33048/daio.2019.26.610

Сапоженко Александр Антонович ¹
Саргсян Ваге Гнелович ¹
1. Московский гос. университет им. М. В. Ломоносова,
Ленинские горы, 1, 119991 Москва, Россия
е-mail: sapozhenko@mail.ru, vahe_sargsyan@ymail.com

Статья поступила 20 февраля 2018 г.
После доработки — 10 декабря 2018 г.
Принята к публикации 27 февраля 2019 г.

Литература

[1] Сапоженко А. А. О числе множеств, свободных от сумм, в абелевых группах // Вестн. Моск. гос. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2002. Т. 4. С. 14–17.

[2] Сапоженко А. А. Гипотеза Камерона — Эрдёша // Докл. Акад. наук. 2003. Т. 393, № 6. С. 749–752.

[3] Сапоженко А. А. Решение проблемы Камерона — Эрдёша для групп простого порядка // Вычисл. математика и мат. физика. 2009. Т. 49, № 8. С. 1503–1509.

[4] Саргсян В. Г. Асимптотика логарифма числа множеств, $(k, l)$-свободных от сумм, в абелевой группе // Дискрет. математика. 2014. Т. 26, № 4. С. 91–99.

[5] Alon N. Independent sets in regular graphs and sum-free subsets of abelian groups // Isr. J. Math. 1991. Vol. 73. P. 247–256.

[6] Bilu Yu. Sum-free sets and related sets // Combinatorica. 1998. Vol. 18, No. 4. P. 449–459.

[7] Calkin N. J. On the number of sum-free set // Bull. Lond. Math. Soc. 1990. Vol. 22. P. 140–144.

[8] Calkin N. J., Taylor A. C. Counting sets of integers, no k of which sum to another // J. Number Theory. 1996. Vol. 57. P. 323–327.

[9] Calkin N. J., Thomson J. M. Counting generalized sum-free sets // J. Number Theory. 1998. Vol. 68. P. 151–160.

[10] Cameron P. J., Erdös P. On the number of sets of integers with various properties // Number Theory (Proc. 1st Conf. Can. Number Theory Assoc., (Banff, Canada, April 17–27, 1988)). Berlin: de Gruyter, 1990. P. 61–79.

[11] Green B. The Cameron–Erdös conjecture // Bull. Lond. Math. Soc. 2004. Vol. 36, No. 6. P. 769–778.

[12] Green B. A Szemerédi-type regularity lemma in abelian groups // Geom. Funct. Anal. 2005. Vol. 15, No. 2. P. 340–376.

[13] Green B., Ruzsa I. Sum-free sets in abelian groups // Isr. J. Math. 2005. Vol. 147. P. 157–188.

[14] Lev V. F. Sharp estimates for the number of sum-free sets // J. Reine Angew. Math. 2003. Vol. 555. P. 1–25.

[15] Lev V. F., Luczak T., Schoen T. Sum-free sets in abelian groups // Isr. J. Math. 2001. Vol. 125. P. 347–367.

[16] Lev V. F., Schoen T. Cameron–Erdös modulo a prime // Finite Fields Appl. 2002. Vol. 8, No. 1. P. 108–119.

[17] Schoen T. A note on the number of $(k, l)$-sum-free sets // Electron. J. Comb. 2000. Vol. 17, No. 1. P. 1–8.