Основные результаты

Решена неоднократно ставившаяся А. Н. Колмогоровым задача получения полных асимптотических разложений в граничных задачах для одномерных случайных блужданий, включая область больших уклонений. Разработанный при этом факторизационный метод анализа оказался весьма универсальным и эффективным также при решении ряда одно- и двуграничных задач для случайных процессов с независимыми приращениями, для случайных блужданий, заданных на переходах цепи Маркова. На этом пути получены также асимптотические разложения в задаче последовательной проверки гипотез, задаче о разладке и других задачах математической статистики (Сиб. мат. журн., 1962, 1969, Теор. вероятн. и ее прим., 1964, 1979, 1987, 1988, 1991 и др., всего более 20 публикаций).

Прямыми вероятностными методами решены основные задачи о вероятностях больших уклонений в пространстве траекторий, порожденных последовательными суммами случайных величин (Сиб. мат. ж. 1964, 1967, Теор. вероятн. и ее прим., 1976, монография «Предельные теоремы для случайных процессов» из серии «Итоги науки и техники», 1995, Усп. мат. наук 1976, 1978).

В области общих предельных теорем для случайных процессов найдены необходимые и достаточные условия сходимости распределений функционалов от случайных процессов, основанные на результатах о сходимости мер на сигма-топологических пространствах.

Получены неулучшаемые оценки точности аппроксимации предельными законами в теории суммирования случайных элементов. (Сиб. мат. ж. 1987, 1991, 1996, Теория вероятн. и ее примен., 1987, Siberian Adv. Math. 1991, 1992, 1993 и др.).

Получены интегральные и локальные теоремы о больших уклонениях для сумм случайных векторов и функционалов от них; в качестве приложений найдены и исследованы асимптотически оптимальные критерии в задачах проверки сложных параметрических статистических гипотез (Теория вероятн. и ее примен., 1982, 1985, 1986, Труды Института математики СО РАН, 1992 и др.).

Изучены свойства эргодичности и устойчивости широкого класса случайных процессов (цепей Маркова, стохастически рекурсивных последовательностей и так называемых рекурсивных цепей). В качестве приложений найдены условия эргодичности и устойчивости ряда систем обслуживания и коммуникационных сетей. Найдена асимптотика вероятностей больших уклонений для стационарных и достационарных асимптотически однородных (в пространстве) цепей Маркова. Изучен весь спектр уклонений, включая "переходные явления", и все основные типы асимптотик, возникающие при степенном и экспоненциальном убывании переходных вероятностей (А. А. Боровков «Вероятностные процессы в теории массового обслуживания.» М.: Физматгиз, 1972, А. А. Боровков «Асимптотические методы в теории массового обслуживания.» М.: Физматгиз, 1980, А. А. Боровков «Эргодичность и устойчивость случайных процессов.» УРСС, 1999, Теор. вероятн. и ее прим., 1987, 1988, 1990, 1996, Сиб. матем. ж. 1996, Ann. Appl. Probab., 1996, Queueing systems, 1998, 1999, Markov processes and related fields, 1997).

Некоторые из основных результатов за 2000-2004 гг.

Решена задача о больших уклонениях частично однородных в положительном квадранте цепей Маркова. Найдено полное описание точной асимптотики вероятности попадания в произвольное удаленное множество при выполнении условия Крамера. Одновременно установлено, что подобного полного описания в трехмерном случае не существует (Успехи матем. наук, 2001).

Впервые найдена асимптотика распределения времени и места достижения произвольного удаленного множества траекторией случайного блуждания, порожденного суммами случайных векторов. Решение этой трудной задачи удалось получить благодаря развитию авторами работы прямых вероятностных подходов и интегро-локальных предельных теорем (Сиб. матем. журнал, 2001).

Найдено асимптотическое поведение вероятности пересечения удаленной границы траекторией асимптотически однородной в пространстве цепи Маркова. Для таких цепей впервые установлен аналог закона повторного логарифма (Теор. вероятн. и ее прим., 2002).

Получено полное решение для частного случая задачи Монжа-Канторовича, заключающегося в вычислении так называемого расстояния Штрассена—Дадли между распределениями на вещественной оси. На основе этого решения построены оценки для расстояния Штрассена—Дадли между биномиальным и сопровождающим пуассоновским распределениями, причем доказано, что в некотором диапазоне значений параметров эти оценки являются неулучшаемыми (Докл. РАН. 2000).

Найдена асимптотика вероятностей больших уклонений распределения вещественнозначной асимптотически однородной цепи Маркова в так называемом крамеровском случае, когда скачки цепи имеют конечные экспоненциальные моменты. Для таких цепей установлена временная зона, в которой хвост распределения эквивалентен хвосту инвариантного распределения. Ранее результаты такого рода о вероятностях больших уклонений были установлены методом факторизационных тождеств А. А. Боровковым (1962) для случайных блужданий с задержкой в нуле. Кроме того, А. А. Боровковым и Д. А. Коршуновым (2000) были изучены так называемые частично однородные цепи Маркова. Исследование же асимптотически однородных цепей Маркова, то есть гораздо более общих моделей, потребовало развития новых методов, представляющих и самостоятельный интерес.

Получены точные выражения, предельные теоремы и полные асимптотические разложения для распределения числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания (Математический сб., 2003, Сиб. мат. ж., 2004).

Найдена асимптотика стационарного распределения осциллирующего случайного блуждания с двумя уровнями переключения (Сиб. мат. ж., 2004).

Найдена асимптотика вероятностей больших уклонений для случайных блужданий с разнораспределенными скачками в схеме серий. Результаты включают в себя так называемые переходные явления, когда изучаются случайные блуждания с неограниченно убывающим сносом. Полученные предельные теоремы обобщают все результаты, полученные ранее в этой области для блужданий с одинаково распределенными скачками.

Получены новые вероятностные неравенства, связывающие моменты сумм независимых случайных величин с соответствующими моментами сопровождающих безгранично делимых законов (обобщение неравенств Ю. В. Прохорова).

Приведены достаточные условия существования кратных стохастических интегралов от неслучайных ядер без условия ортогональности интегрирующих стохастических мер. В терминах этих интегралов описаны предельные распределения нормированных статистик Мизеса и U-статистик с вырожденными ядрами, которые строятся по выборкам слабозависимых наблюдений.