|
|
Численные
методы математического анализа
 Численные методы
исследования нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Данное направление возникло в Институте математики в лаборатории
(а затем в отделе ) Ю. С. Завьялова, организованной в составе
Отделения вычислительной техники в начале 60-х годов. Исследования, проводимые
в лаборатории, были направлены на математическое обеспечение разработок
в области создания вычислительных сред и систем, включая математическое
моделирование физических процессов, входящих в технологию производства
элементов вычислительной техники.
В начале 70-х годов эта тематика была сосредоточена в лаборатории численных
методов исследования моделей отдела и развивалась в дальнейшем параллельно
с методами сплайн-функций.
Математическое
моделирование пленочной электромеханики.
К этому периоду относится цикл работ по математическому моделированию
пленочного электростатического реле и других элементов пленочной электромеханики,
которые разрабатывались в лаборатории В. Л. Дятлова. К характерной
особенности математических моделей пленочной электромеханики относится
их существенная нелинейность как отражение взаимодействия упругих механических
элементов конструкции с электростатическим полем.
При моделировании таких приборов как пленочное электростатическое реле,
работа которого основана на гистерезисе, нелинейность проявляется в ветвлении
решений, соответствующих краевых задач, описывающих статическое положение
равновесия упругих элементов в зависимости от параметра. В случае реле
роль параметра, отвечающего за ветвление решения, играет разность потенциалов,
прикладываемая к подвижному и неподвижному электродам.
Поэтому вычислительная сторона проблемы состояла в создании методов исследования
краевых задач, в которых учитывалась бы возможность появления множественности
решений в процессе численного построения зависимости решения от параметра.
Отметим, что определение значений параметра, при котором происходит ветвление
решения, как и построение всех решений (устойчивых и неустойчивых), представляло
главный практический интерес, так как в результате вычислялись важные
характеристики работоспособности прибора (в реле — это напряжение
срабатывания и отпускания).
Основы пленочной электромеханики как нового научного направления, зародившегося
в Институте математики СО РАН в лаборатории В. Л. Дятлова,
представлены в монографии :
В. Л. Дятлов, В. В. Коняшкин, Б. С. Потапов,
С. И. Фадеев, Пленочная электромеханика. Новосибирск: Наука,
1991. 248 с.
Кроме результатов исследования электромеханических преобразователей энергии
в монографии дается подробное описание методов численного исследования
нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
в общей формулировке и результаты расчетов конкретных математических моделей
пленочной электромеханики. В настоящее время идеи пленочной электромеханики
широко используются при разработке микродвигателей, которые найдут применение
в самых различных областях техники, медицине и т. д.
Математическое
моделирование каталитических процессов.
К началу 70-х годов относится становление сотрудничества с Институтом
катализа им. Г. К. Борескова в области математического
моделирования каталитических процессов на зерне катализатора и в реакторах
различного типа. Оказалось, что с вычислительной точки зрения нелинейные
краевые задачи, описывающие стационарные режимы, имеют ту же природу,
что и математические модели пленочной электромеханики.Численный анализ
направлен здесь на выявление критических значений параметров, в частности
точек ветвления решений, в окрестности которых наблюдаются резкие изменения
в протекании стационарных режимов. Таким образом, результаты расчетов
позволяют в рамках математической модели получить представление о границах
изменения параметров, в пределах которых протекание процессов устойчиво.
Конец 80-х годов отмечен тесным сотрудничеством с Отделом М. Г. Слинько,
НИФХИ им. Л. Я. Карпова,
г. Москва, в связи с разработкой в отделе пакета программ АРМ-ХТ
(автоматизированное рабочее место химика-технолога). В пакет были включены
оригинальные алгоритмы численного исследования математических моделей
реактора идеального смещения и процессов на зерне катализатора, созданные
в лаборатории.
К настоящему времени опубликовано более 20 совместных работ в сборниках,
центральных и зарубежых журналах, отражающих проблемы математического
моделирования в катализе. Сотрудники лаборатории участвовали и продолжают
участвовать в ряде совместных проектов по грантам РФФИ,
международным грантам и интеграционным проектам СО РАН.
Следует заметить, что при разработке математических моделей макрокатализа,
позволяющих объяснить экспериментальные данные, важную роль играют вариации
в формулировках краевых задач, связанные с подбором кинетики процесса,
учетом тех или иных балансных соотношений и т. д., а возникающий
при этом «поток» краевых задач требует проведения численного
экспресс-анализа. То же самое относится и к моделям пленочной электромеханики.
Как реакция на возникшую ситуацию к середине 80-х годов в лаборатории
был предложен эффективный вариант метода продолжения решения по параметру
для нелинейной краевой задачи в достаточно общей постановке. Речь идет
о краевой задаче для системы из n обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с двуточечными нелинейными краевыми условиями, связывающими
значения неизвестных функций на концах отрезка.
Достоинства метода подробно описаны в упомянутой выше монографии. В краткой
характеристике можно отметить, что в предлагаемом методе нелинейной краевой
задаче ставится в соответствие ее дискретная модель, полученная применением
метода сплайн-коллокации на неравномерной сетке с погрешностью аппроксимации
4-го порядка. При этом приближенное решение ищется в виде эрмитовых кубических
сплайнов класса C1. Для нахождения решения системы используется вариант
метода продолжения по параметру, позволяющий эффективно строить зависимость
решения от параметра с учетом возможности появления ветвления решения
типа «поворот». Продолжение по параметру сопровождается адаптацией
сетки, что играет важную роль при вознокновении решений с большими градиентами,
положение которых заранее не известно. Наконец, «одношаговость»
схемы позволяет включить в число рассматриваемых краевых задач задачи,
в которых правые части системы дифференциальных уравнений имеют разрывы
первого рода по независимому аргументу.
В дальнейшем указанный метод продолжения по параметру был оформлен в
виде пакета программ BPR-Q, реализованного для персональных ЭВМ, а также
пакетов того же типа для (a) краевых задач для совместных систем дифференциальных
и конечных (алгебраических ) уравнений, (b) автоколебаний, (c) выпущенных
нелинейных колебаний, в том числе под воздействием импульса прямоугольной
формы.
Те же идеи метода продолжения решения по параметру были использованы для
численного исследования систем конечных нелинейных уравнений, в частности
для систем, описывающих стационарные решения автономных систем, включая
определение устойчивости стационарных решений по методу Годунова—Булгакова
(пакет STEP). Эффективность предлагаемых вычислительных средств продемонстрирована
к настоящему времени на многих практических задачах. Получено признание
в ряде организаций РАН и за рубежом. Во многом развитие данной тематики
обязано поддержке С. К. Годунова.
Применение
разработок в учебном процессе
Наконец, можно отметить применение указанных разработок в учебном процессе
в качестве составной части математического обеспечения соответствующих
вычислительных практикумов (см. учебное пособие «Пакет программ
STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений и автономных
систем общего вида». Описание работы пакета STEP на примерах задач
из учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов».
Авторы: С. И. Фадеев, С. А. Покровская, А. Ю. Березин,
И. А. Гайнова).
Опыт численного исследования нелинейных краевых задач, как накопленный
в лаборатории, так и известный по публикациям, указывает на необходимость
в разработках других вариантов метода продолжения по параметру. Например,
вариант, основанный на дифференциальных прогонках, в сочетании с предложенной
ранее процедурой выбора «текущего» параметра для продолжения
решения на один шаг.
К другой неформализуемой и потому интересной проблеме относятся различные
способы параметризации задачи с целью дальнейшего использования метода
продолжения по параметру. Кроме того, нужны дальнейшие усилия по совершенствованию
вычислительных средств (пакетов программ), доступных пользователю в удобной
форме.
Очевидно, последнее подразумевает тесное сотрудничество с разработчиками
математических моделей.
|
 |
