|
|
Условно-корректные
задачи
Основы теории условно-корректных задач, или некорректных задач, были заложены
академиком А. Н. Тихоновым. В дальнейшем по данной теории
сформировалось несколько научных школ, в том числе школа московских
ученых, руководимая А. Н. Тихоновым, школа новосибирских ученых
под руководством М. М. Лаврентьева
и школа ученых Екатеринбурга, которой руководил В. К. Иванов.
Теория условно-корректных задач развивалась также в Петербурге, Киеве,
Самарканде, Ташкенте, Кзыл-Орде, Алма-Ате и в других городах,
а также в США, Франции, Италии, Германии.
В Институте математики исследования по теории условно-корректных задач
и обратных задач математической физики ведутся в отделе под руководством
академика М. М. Лаврентьева и в лабораториях, возглавляемых
членом-корреспондентом РАН В. Г. Романовым,
докторами физико-математических наук Ю. Е. Аниконовым и А. Л. Бухгеймом.
Всего в научном коллективе работает 10 докторов наук:
Ю. Н. Валицкий, В. П. Голубятников, С. М. Зеркаль,
С. И. Кабанихин, В. Р. Кирейтов,
Г. С. Лбов, И. А. Тайманов,
В. А. Шарафутдинов, В. Г. Яхно,
а также большая группа кандидатов наук.
Исследования проводятся по следующим основным
направлениям:
- условно-корректные задачи, в том числе методы регуляризации, операторные
уравнения, задачи интегральной геометрии;
- обратные задачи математической физики, в том числе задачи определения
коэффициентов уравнений по различного рода дополнительной информации
об их решениях, доказываются теоремы существования и единственности
решения обратных задач, строятся оценки условной устойчивости решения.
Сотрудники отдела активно участвуют в подготовке научных кадров,
работают по совместительству в НГУ
и в вузах Новосибирска. Под руководством сотрудников отдела
были подготовлены и успешно защищены 15 докторских и более
100 кандидатских диссертаций.
В лаборатории условно-корректных задач, руководимой профессором Д. С. Аниконовым,
исследуется теория обратных задач, связанных с сейсморазведкой, фотометрией
и астрофизикой. Рассматриваются задачи интегральной геометрии, теория
операторных уравнений. Академик М. М. Лаврентьев является главным редактором журнала
"Journal
of Inverse and Ill-Posed Problems".
В лаборатории волновых процессов, возглавляемой
профессором В. Г. Романовым, исследуется широкий спектр обратных
задач теории распространения волн, возникающих в электродинамике,
сейсморазведке, акустике. Рассматриваются также обратные задачи теории
переноса, электроупругости, томографии.
В лаборатории доказан ряд новых теорем существования, единственности и устойчивости
решения, развиты численные методы.
Сотрудники лаборатории В. Г. Романов и С. И. Кабанихин
входят в состав редколлегии журнала
"Journal of Inverse and Ill-Posed Problems".
В лаборатории постоянно действует научный семинар.
В лаборатории обратных задач математической физики, руководимой профессором
Ю. Е. Аниконовым, ведутся исследования по обратным задачам
для общих эволюционных уравнений, кинетических уравнений. Изучаются разнообразные
задачи определения форм тел по функционалам от их проекций
на плоскости. Рассматриваются вопросы существования, единственности
и устойчивости решения линейных и нелинейных задач интегральной
геометрии. Изучаются также приложения теории многомерных обратных задач
в томографии, геофизике, социологии, в частности для моделирования
этнических процессов.
Ю. Е. Аниконов — член редколлегии международного
журнала "Journal of Inverse and Ill-Posed Problems" и руководит
научным семинаром «Обратные задачи математической физики».
В лаборатории численных методов решений обратных задач, возглавляемой
профессором А. Л. Бухгеймом, решаются задачи определения памяти
и/или коэффициентов гиперболических или параболических (интегро-дифференциальных)
уравнений. Исследуются вопросы существования, единственности и устойчивости
решений таких задач. В этих задачах успешно применяется метод весовых
априорных оценок карлемановского типа. Для ряда дифференциальных уравнений
решаются задачи продолжения решений с заданных множеств (в том
числе дискретных), для которых получены формулы типа Карлемана.
В лаборатории также исследуется взаимосвязь некоторых обратных задач для
уравнения переноса (задача томографии) с теорией А-аналитических
функций. Получены формулы обращения для задачи эмиссионной томографии
и их численные алгоритмы.
|
 |
