Пример 51. Если и суть координаты точки, брошенной наудачу в треугольник с вершинами , и , то их коэффициент корреляции отрицателен. Это можно объяснить так: чем больше , тем меньше у возможностей быть большой.

Предлагаю убедиться в этом, проверив справедливость следующих высказываний. Во-первых,

и вычисленные по этим плотностям средние (вычислить!) равны соответственно и .

Во-вторых, по определению многомерного равномерного распределения в области ,

(кажется). Т.е. ковариация (а с ней и коэффициент корреляции) отрицательна.

Пример 52. Найдём коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при подбрасываниях правильной игральной кости.

Обозначим для через случайную величину, равную числу выпадений грани с очками при подбрасываниях кубика. Посчитаем . Каждая из случайных величин имеет биномиальное распределение с параметрами и 1/6, поэтому , .

Далее заметим, что . Из-за симметрии кубика математические ожидания , , ...,  одинаковы (но, надо думать, отличаются от  ).

Посчитаем . С одной стороны, это равно

с другой стороны,

Отсюда , т.е. .

Следовательно, искомый коэффициент корреляции равен

Интересно, что полученный коэффициент корреляции не зависит от .

Пример 53. Вычислим математическое ожидание и дисперсию гипергеометрического распределения. Мы не могли сделать это раньше, так как очень не хотели вычислять следующие суммы:

где, напомним (чтобы читатель окончательно отказался от мысли вычислить эти суммы напрямую), суммирование ведётся по целым таким, что и .

Рассмотрим урну, содержащую белых шаров и не белых, и пусть из неё наудачу и без возвращения выбирают по одному шаров. Свяжем случайную величину , равную числу белых шаров среди выбранных, с результатами отдельных извлечений шаров.

Обозначим через , где , «индикатор» того, что -й по счёту вынутый шар оказался белым: , если при -м извлечении появился белый шар, иначе . Тогда — число появившихся белых шаров, и математическое ожидание считается просто:

Убедимся, что случайные величины имеют одно и то же распределение Бернулли , где .

Пронумеруем шары: белые — номерами от одного до , остальные — номерами от до . Элементарным исходом опыта является набор из номеров шаров в схеме выбора элементов из без возвращения и с учётом порядка. Общее число исходов равно по теореме 2.

Вычислим вероятность события . Событие включает в себя элементарные исходы (наборы), в которых на -м месте стоит любой из номеров белых шаров, а остальные место занимают любые из оставшихся номеров. По теореме 1 о перемножении шансов число благоприятных событию исходов есть произведение и . Здесь есть число способов поставить на -е место один из номеров белых шаров, — число способов после этого разместить на оставшихся местах остальные номеров шаров. Но тогда

что совершенно очевидно: вероятность двадцатому шару быть белым, если мы ничего не знаем про первые девятнадцать, точно такая же, как вероятность первому шару быть белым и равна отношению числа белых шаров к числу всех.

Вернёмся к математическому ожиданию:

Вычислим дисперсию . До сих пор мы не интересовались совместным распределением : для вычисления математического ожидания их суммы нам было достаточно знания маргинальных распределений этих величин. Но дисперсия суммы уже не всегда равна сумме дисперсий. Зависимость величин очевидна: если, скажем, случилось событие , то вероятность второму шару быть белым уже не равна :

Поэтому при вычислении дисперсии будем пользоваться свойством 14. Вычислим ковариацию величин и , . Для этого сначала посчитаем . Произведение снова имеет распределение Бернулли: , если при -м и -м извлечениях появились белые шары. Вероятность этого события равна

Тогда

Подставляя одинаковые дисперсии и эти не зависящие от и ковариации в формулу дисперсии суммы, получим:

Заметим любопытнейшую вещь: если вынимать шары с возвращением, то испытания станут независимыми испытаниями в схеме Бернулли, а ставшие независимыми величины в сумме дадут число белых шаров, имеющее биномиальное распределение с параметрами и и точно такое же математическое ожидание , как и у числа белых шаров при выборе без возвращения.

Дисперсия же у числа белых шаров при выборе без возвращения меньше, чем при выборе с возвращением — за счёт отрицательной коррелированности слагаемых и при .