Окончательное решение проблемы континуума в рамках
ZFC,
найденное
Полем Коэном, привело к появлению
булевых или булевозначных моделей.
В 1969 г.
Дана Скотт предсказывал:
Следует спросить, представляют ли эти модели какой-либо
интерес помимо доказательства независимости, иначе говоря,
есть ли в них какой-нибудь математический интерес?
Ответ должен быть утвердительным, хотя мы и не можем сейчас дать
по-настоящему убедительные к тому аргументы1.
Гайзи Такеути
предложил использовать термин
«булевозначный анализ» для приложений булевых моделей к анализу .
Лемма Фаркаша, именуемая также леммой Фаркаша — Минковского,
играет ключевую роль в линейном программировании и
родственных разделах оптимизации. Цель этого соообщения —
показать, как булевозначный анализ можно
применить к системам линейных операторных неравенств.
Эта частная тема дает еще одну иллюстрацию
глубокой и мощной техники «послойной верификации» истины,
характеризующей булевозначный анализ.
Безусловно мы ощущаем истину, но определить истину должным образом мы не можем.
Именно это нам объяснил
Альфред Тарский в 1930 годах. Мы гонимся за истиной с помощью
доказательств, как это мудро сформулировал
Саундерс Маклейн. Теория моделей оценивает и перечисляет
истины и доказательства. Гонка за истиной не только приближает нас
к той истине, которую мы преследуем, но и позволяет нам очень близко подойти
к другим проявлениям истины, которые мы не только не знали, но и не могли даже
предвидеть в начале преследования. Именно этому нас учат булевы модели,
разработанные в 1960 годах Дана Скоттом,
Робертом Соловеем и
Петром Вопенкой.
-
[1]
Kjeldsen T. H.,
Different motivations and goals in the historical development of the theory of systems of linear inequalities.
Arch. Hist. Exact Sci., 56:6, 459–538 (2002).
-
[2]
Floudas C. A., Pardalos P. M. (eds.),
Encyclopedia of Optimization.
Springer (2009).
-
[3]
Scott D.,
Boolean Models and Nonstandard Analysis.
In Applications of Model Theory to Algebra, Analysis, and Probability, 87–92.
Holt, Rinehart, and Winston (1969).
-
[4]
Takeuti G.,
Two Applications of Logic to Mathematics.
Iwanami Publ. & Princeton University Press (1978).
-
[5]
Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С.,
Введение в булевозначный анализ.
Наука (2005).
Слайды доступны в формате
PDF.
Примечание:
1
В то время я был расстроен, что никто не обратил внимания на мое
предложение. И я потом был весьма изумлен, увидев много позже работы Такеути и
его сотрудников. Думаю, дело в том, что для того, чтобы понять эти модели, люди
должны иметь подготовку по функциональному анализу. Полагаю, что это также видно
из Вашей книги и приведенных в ней ссылок.
К сожалению, у меня не было учеников или коллег с подобной подготовкой
и поэтому у меня не было возможности добиться здесь продвижения.
(Из
письма Дана Скотта С.С. Кутателадзе от 29 апреля 2009 г.)