БУЛЕВЫ МОДЕЛИ И
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ

Окончательное решение проблемы континуума в рамках ZFC, найденное Полем Коэном, привело к появлению булевых или булевозначных моделей. В 1969 г. Дана Скотт предсказывал:

Следует спросить, представляют ли эти модели какой-либо интерес помимо доказательства независимости, иначе говоря, есть ли в них какой-нибудь математический интерес? Ответ должен быть утвердительным, хотя мы и не можем сейчас дать по-настоящему убедительные к тому аргументы¹.

Гайзи Такеути предложил использовать термин «булевозначный анализ» для приложений булевых моделей к анализу . Лемма Фаркаша, именуемая также леммой Фаркаша — Минковского, играет ключевую роль в линейном программировании и родственных разделах оптимизации. Цель этого соообщения — показать, как булевозначный анализ можно применить к системам линейных операторных неравенств. Эта частная тема дает еще одну иллюстрацию глубокой и мощной техники «послойной верификации» истины, характеризующей булевозначный анализ. Безусловно мы ощущаем истину, но определить истину должным образом мы не можем. Именно это нам объяснил Альфред Тарский в 1930 годах. Мы гонимся за истиной с помощью доказательств, как это мудро сформулировал Саундерс Маклейн. Теория моделей оценивает и перечисляет истины и доказательства. Гонка за истиной не только приближает нас к той истине, которую мы преследуем, но и позволяет нам очень близко подойти к другим проявлениям истины, которые мы не только не знали, но и не могли даже предвидеть в начале преследования. Именно этому нас учат булевы модели, разработанные в 1960 годах Дана Скоттом, Робертом Соловеем и Петром Вопенкой.

[1] Kjeldsen T. H., Different motivations and goals in the historical development of the theory of systems of linear inequalities. Arch. Hist. Exact Sci., 56:6, 459–538 (2002).

[2] Floudas C. A., Pardalos P. M. (eds.), Encyclopedia of Optimization. Springer (2009).

[3] Scott D., Boolean Models and Nonstandard Analysis. In Applications of Model Theory to Algebra, Analysis, and Probability, 87–92. Holt, Rinehart, and Winston (1969).

[4] Takeuti  G., Two Applications of Logic to Mathematics. Iwanami Publ. & Princeton University Press (1978).

[5] Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Введение в булевозначный анализ. Наука (2005).

---

Тезисы доклада, прочитанного 27 августа 2009 г. на Мальцевских чтениях.
Относительно технических подробностей см. arXiv.org и Optimization Online.

Слайды доступны в формате PDF.

---

Примечание:

¹ В то время я был расстроен, что никто не обратил внимания на мое предложение. И я потом был весьма изумлен, увидев много позже работы Такеути и его сотрудников. Думаю, дело в том, что для того, чтобы понять эти модели, люди должны иметь подготовку по функциональному анализу. Полагаю, что это также видно из Вашей книги и приведенных в ней ссылок. К сожалению, у меня не было учеников или коллег с подобной подготовкой и поэтому у меня не было возможности добиться здесь продвижения.
(Из письма Дана Скотта С.С. Кутателадзе от 29 апреля 2009 г.)

---

Дана Скотт в Новосибирске 28 августа 2009 г. с участниками семинара лаборатории функционального анализа.

---

Available in English

---

Владикавказский мат. журн., 2009, Т. 11, № 3, 44–50 +
http://arxiv.org/abs/0907.0060

---