| Среда, 24 Августа | Четверг, 25 Августа | Пятница, 26 Августа | |
|---|---|---|---|
| 12:00 — 12:40 | Смородина Н. В. Видео, Слайды О Ядрах Некоторых Случайных Операторов Пусть $\xi_x(t)$ -- решение стохастического дифференциального уравнения $$ d\xi_x(t)=b(\xi_x(t))b^\prime(\xi_x(t))\,dt+b(\xi_x(t))\,dw(t),\ \ \ \ \xi_x(0)=x. $$ В пространстве $L_2(\mathbb{R})$ рассмотрим самосопряженный оператор $$\mathcal{A}=-\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\big(b^2(x)\frac{d}{dx}\big)+V(x),$$ заданный на области определения $W_2^2(\mathbb{R})$. Относительно функций $b(x),V(x)$ мы будем предполагать выполнение следующих условий: 1. $V\in L_1(\mathbb{R}).$ 2. $b\in C_b^2$ и отделена от нуля. 3. Существует $b_0>0$ такое что $\underset{x\to\pm\infty}\lim b(x)=b_0.$ 4. $\underset{x\to\pm\infty}\lim b^\prime(x)=\underset{x\to\pm\infty}\lim b^{\prime\prime}(x)=0.$ 5. $\int_\mathbb{R}x^2(|b(x)-b_0|+|b^{\prime}(x)|)\,dx<\infty$. Из условий 1-5 вытекает, что спектр оператора $\mathcal{A}$ состоит из интервала $[0,\infty)$ и, возможно, нескольких отрицательных однократных собственных значений. Через $H_{a}\subset L_2(\mathbb{R})$ обозначим абсолютно непрерывное подпространство оператора $\mathcal{A}$, а через $P_{a}$ -- ортогональный проектор в $L_2(\mathbb{R})$ на $H_{a}$. Через $\mathcal{A}_0=\mathcal{A}P_{a}$ обозначим сужение оператора $\mathcal{A}$ на $H_{a}$. Для каждого $\lambda$, удовлетворяющего условию $\mathrm{Re}\,\lambda\leqslant 0$ определим случайный оператор $\mathcal{R}_\lambda^t$, полагая $$ \mathcal{R}_\lambda^tf(x)=\int_0^t e^{\lambda\tau}(P_{a}f)(\xi_x(\tau))e^{-\int_0^\tau V(\xi_x(s))\,ds} \,d\tau. $$ \textbf{Теорема 1.} 1. С вероятностью 1 оператор $\mathcal{R}_\lambda^t$ является ограниченным интегральным оператором в $L_2(\mathbb{R})$ вида $$\mathcal{R}_\lambda^tf(x)=\int_\mathbb{R}r_\lambda(t,x,y)f(y)\,dy,$$ причем при $\mathrm{Re}\,\lambda<0$ последнее равенство справедливо также для $t=\infty$. 2. Для любых $\lambda,t,x$ функция $r_\lambda(t,x,\cdot)\in W_2^\alpha$ для любого $\alpha\in[0,\frac{1}{2})$. \textbf{Теорема 2.} 1. Если $\mathrm{Re}\,\lambda< 0$ то для любого $f\in H_{a}$ выполнено \begin{equation} \mathbb{E}\int_\mathbb{R}r_\lambda(\infty,\cdot,y)f(y)\,dy=(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}f. \label{eq65} \end{equation} 2. Если $\mathrm{Re}\,\lambda= 0$ и $\lambda\neq 0$ то для любого $f\in H_{a}$ выполнено \begin{equation} \lim_{t\to\infty}\mathbb{E}\int_\mathbb{R}r_\lambda(t,\cdot,y)f(y)\,dy=(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}f. \label{eq70} \end{equation} При $\lambda=0$ равенство (\ref{eq70}) выполнено для любого $f\in \mathcal{D}(\mathcal{A}_0-\lambda I)^{-1}$. Работа выполнена при поддержке РНФ, проект \textnumero 22-21-00016. |
Ковалевский А. П. Видео, Слайды Совместная Асимптотика Прямого и Обратного Процессов Количеств Непустых Урн в Бесконечных Урновых Схемах Изучается совместная асимптотика прямого и обратного процессов количеств непустых урн в бесконечной урновой схеме. Вероятности попадания шаров в урны предполагаются удовлетворяющими условиям регулярного убывания. Доказана слабая сходимость к двумерному гауссовскому процессу, ковариационная функция которого зависит только от показателя степени регулярного убывания вероятностей. Следствие основной теоремы утверждает слабую сходимость интеграла от разности прямого и обратного процессов к нормальному распределению. Получены оценки параметра, имеющие совместное нормальное распределение вместе с прямым и обратным процессами. Эти оценки использованы для построения статистических критериев проверки однородности поведения урновой схемы по числу брошенных шаров. Статистические критерии проверены моделированием и применены к анализу однородности текстов на естественном языке. |
Запорожец Д.Н. Видео Случайные Полиномы, не Имеющие Вещественных Нулей В своей работе 2002 года Dembo, Poonen, Shao и Zeitouni получили степенную асимптотику по $n$ убывания вероятности того, что случайный полином четной степени $n$ c i.i.d. коэффициентами не имеет вещественных нулей. Точный степенной показатель найден не был, однако была высказана гипотеза, что он равен $-3/4$. Лишь летом 2021 года FitzGerald, Tribe, и Zaboronski выложили работу в ArXiv с ее доказательством. В докладе мы рассмотрим аналогичную задачу для случайных полиномов, коэффициенты которых имеют биномиальную дисперсию. Данные полиномы впервые рассмотрели Kostlan, Shub и Smale в своих работах в начале 90-х годов прошлого века. |
| 12:45 — 13:15 | Тарасенко А. С., Лотов В. И. Видео, Слайды Неравенства для Характеристик Cusum Процедуры в Задаче Обнаружения Разладки Получены оценки в виде неравенств для среднего времени задержки с реагированием на наличие разладки и для среднего времени до ложной тревоги при обнаружении разладки с помощью CUSUM процедуры. |
Топчий В. А. Видео, Слайды Критические Ветвящиеся Процессы со Счетным Числом Типов Частиц и Случайные Графы Рассмотрены генеалогические деревья ветвящихся процессов Гальтона -- Ватсона. Изучается критический случай, соответствующий одновершинному случайному дереву с независимым одинаково распределенным количеством ребер для всех вершин. Среднее количество ребер, выходящих из вершины более низкого уровня равно $1$. Одной из основополагающих теорем для данных процессов является теорема Яглома, утверждающая, что не вырождающиеся к далекому моменту времени $n$ процессы содержат в данный момент времени количество частиц равное этому времени $n$, умноженному на экспоненциально распределенную случайную величину. Эти условные процессы удобно описывать в терминах редуцированных деревьев, которые получаются из генеалогических деревьев путем исключения поддеревьев, не доходящих до уровня $n$. Более сложная модель ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона со счетным числом типов частиц, у которых типы потомков получаются суммированием типа родителя с независимыми одинаково распределенными многомерными случайными величинами можно представить как определенные выше в одномерном случае деревья с весами ребер и вершин. Описаны средние и дисперсии ряда характеристик редуцированных деревьев с весом, включая суммарный вес всех вершин на фиксированном уровне. Доказан ряд предельных теорем для редуцированных деревьев. Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003. |
Прокопенко Е. И. Видео, Слайды Подход Multi-Normex для аппроксимации суммы случайных векторов с тяжелыми хвостами Мы рассмотрим точную аппроксимацию распределения суммы н.о.р. случайных векторов с тяжелыми хвостами, комбинируя среднее и экстремальное поведение. Данных подход обобщает так называемый подход < |
| 13:15 — 13:30 | Кофе-брейк | ||
| 13:30 — 14:10 | Коршунов Д. А. Видео Большие Уклонения для Асимптотически Однородных по Пространству Двумерных Цепей Маркова Мы рассматриваем цепи Маркова на решётке в положительном квадранте. Мы предполагаем, что переходные вероятности сходятся на бесконечности. В предположении положительной возвратности цепи мы изучаем большие уклонения для ее стационарного распределения при выполнении условия типа Крамера на скачки. |
Тесемников П.И., Фосс С. Г. Видео, Слайды Верхние и Нижние Оценки Хвостовых Вероятностей в Модели Ветвящегося Случайного Блуждания в Случае Тяжёлых Хвостов Распределений Приращений Рассмотрим двумерный массив $ \{ \xi_{i, j} \}_{i,j \ge 1} $ независимых случайных величин (с.в.), распределённых согласно закону $ F $. Мы будем предполагать, что $ F $ центрировано, т.е. \begin{align*} \mathbb{E} \xi_{1, 1} = 0, \end{align*} и имеет тяжёлый правый хвост, т.е. \begin{align*} \mathbb{E} e^{\lambda \xi_{1,1}} \equiv \int_{-\infty}^{\infty} e^{\lambda t} F(dt) = \infty \end{align*} при любом $ \lambda > 0 $. Определим семейство случайных блужданий $ S_{i,n} $ по правилу: \begin{align*} S_{i, 0} = 0, \qquad S_{i,n} = \sum_{j=1}^{n} \xi_{i, j} \text{ при } n \ge 1. \end{align*} Рассмотрим также целочисленную с.в. $ Z > 0 $ п.н. Мы изучаем асимптотику хвоста распределения супремума \begin{align*} R_{\mu, Z}^{g} = \max_{1 \le i \le Z} \max_{0 \le n \le \mu} ( S_{i, n} - g(n)), \end{align*} где $ \mu \le \infty $ -- произвольная целочисленная с.в., а $ g $ -- неотрицательная функция, стремящаяся к бесконечности с ростом $ n $. Мы приведём условия, при которых нижняя оценка \begin{align*} \mathbb{P} \left( R_{\mu, Z}^{g} > x \right) \ge (1 + o(1)) H_{\mu,Z}^{g}(x) \end{align*} и верхняя оценка \begin{align*} \mathbb{P} \left( R_{\mu, Z}^{g} > x \right) \le (1 + o(1)) H_{\mu,Z}^{g}(x) \end{align*} справедливы равномерно по некоторым классам моментов времени $ \mu $ и границ $ g $. Здесь \begin{align*} H_{\mu, Z}^{g}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{E} \left[ Z \mathbb{I} (\mu \ge n) \right] \overline{F} (x + g(n)). \end{align*} Отметим, что рассматриваемая модель является частным случаем модели ветвящегося случайного блуждания, в котором ветвление возможно лишь в первом поколении. Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации номер 075-15-2022-282. |
Саханенко А. И. Видео Об Асимптотике Вероятности Невыхода Случайного Процесса за Криволинейную Границу Пусть $ X_{1}, X_{2}, \ldots $ -- независимые случайные величины. Будем предполагать, что случайное блуждание $ S_n:=X_1+\ldots+X_n,\ n=1,2,\dots, $ принадлежит области притяжения нормального распределения, т.е. что существует возрастающая стремящаяся к бесконечности последовательность $\{b_n>0\}$ такая, что $ {S_n}/{b_n} $ при $ n \to \infty $ сходится по распределению к стандартному нормальному закону. Пусть $ T :=\inf\{k\geq1:S_k\leq g_k\} $ -- момент первого пересечения случайным блужданием $ \{ S_n \} $ движущейся границы $\{g_n=o(b_n)\}$. В докладе мы рассмотрим асимптотическое поведение правого хвоста $\mathbf{P}(T>n)$. Известный классический случай -- это случай, когда случайное блуждание имеет нулевое среднее, конечную дисперсию и $ B_n^2:=\mathbf{E}[S_n^2]\to\infty. $ Если выполнено условие Линдберга, то $$ \mathbf{P}(T>n)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{U_n}{B_n}, \quad \text{где}\quad U_n:=\mathbf{E}[S_n-g_n;T_g>n]. \eqno(1)$$ (См. \emph{Ann. Probab.}, 2018, pp. 3313-3350.) В настоящем докладе мы сконцентрируемся на дальнейших результатах в этом направлении. В частности, мы не будем предполагать, что все слагаемые имеют конечную дисперсию или, даже, конечное среднее. Обозначим через $X_n^{[u_n]}$ срезку случайной величины $ X_n $ на уровнях $ \pm u_n $, где $u_n/b_n\to0$ достаточно медленно. В этом случае $$ \mathbf{P}(T>n)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{U_n(u_n)}{b_n} +J_n(u_n,b_n), \eqno(2) $$ где $U_n(u_n)$ определяется аналогично $U_n$ в (1), но для случайного блуждания $X_1^{[u_n]}+\dots+X_n^{[u_n]}$ вместо $S_n$. Отметим, что величина $J_n(u_n,b_n)$ из (2) найдена в явном виде как функция распределений положительных частей случайных величин $X_1-u_n,\dots,X_n-u_n$. Доклад основан на совместных работах с Д. Э. Денисовым и В. И. Вахтелем. Исследование выполнено при поддержке РФФИ и DFG в рамках научного проекта \textnumero 20-51-12007. |
| 14:10 — 16:00 | Обед | ||
| 16:00 — 16:40 | Мини-доклады Видео Прасолов Т. В. Существование Моментов у Времени Первого Достижения Нуля Случайным Блужданием со СносомЕфремов Е. В. Принцип Умеренно Больших Уклонений для M-зависимых Случайных Величин в Пространстве Случайных Величин с Заданным Сублинейным Математическим ОжиданиемИшков Р. С. Исследование Модели Заражения в Системах Обслуживания $M / M / k / 0$Резлер А. В. Стабильность и Нестабильность Систем Случайного Множественного Доступа с Механизмом Энергетической ПодпиткиСмирнов И. А. Вероятностный Подход к Игре в Угадывание в Случайной СредеЦыбульский Д. Ю. О Распределении Длины и Высоты Цикла Регенерации у Случайных Блужданий со СносомШелепова А. Д. Асимптотика Распределения Момента Выхода за Невозрастающую Границу для Обобщенных Процессов ВосстановленияЛукьянов А. Е. Метод Двойного Бутстрапа для Оценивания Степенного Индекса по ЭкспектилямТрушин А. А. Актуальные Задачи в Полногеномных Исследованиях АссоциацийТесемников П. И. О Распределении Длины Кратчайшего Пути в Обобщённом Графе Барака -- Эрдёша |
Шемякин А. Е. Слайды Информация Хеллингера в Параметрическом Оценивании и Построении Объективных Априорных Распределений Информация Хеллингера как локальная характеристика параметрических семейств распределений впервые была рассмотрена в работе Шемякин (1992). Она определяется через расстояние Хеллингера между двумя вероятностными мерами. При выполнении определенных условий регулярности, построение нижних границ байесовского риска тесно связано с информацией Фишера и структурой римановых многообразий. Нарушение условий регулярности (недифференцируемая плотность распределения или неопределенная информация Фишера), включая случай равномерного распределения, предполагает использование аналогов или обобщений фишеровской информации. Информация Хеллингера может использоваться для построения информационных неравенств типа Рао-Крамера. Нижние границы байесовского риска, известные как неравенства Боровкова-Саханенко (1980), могут быть расширены на нерегулярный случай (Шемякин, 1991). Конструкция объективных или неинформативных априорных распределений, основанная на информации Хеллингера, была предложена в работе Шемякин (2014). Хеллингеровские априорные обобщают правило Джеффриса при нарушении условий регулярности. Во многих примерах они идентичны или близки к референтным априорным (см. Бергер, Бернардо и Сун, 2009) или априорным, полученным по методу соответствия вероятностей (Гхосал и Саманта, 1997). Большая часть работы Шемякин (2014) посвящена одномерному случаю, но общее определение матрицы Хеллингера и хеллингеровских априорных приведены для случая векторного параметра. Условия существования и положительной определенности матрицы информации Хеллингера в работе не рассматривались. Информация Хеллингера применялась также в работе Линь, Мартин и Янг (2019) к задачам оптимального дизайна экспериментов. Рассматривался специальный одномерный случай, для которого построение матрицы Хеллингера не обязательно. В настоящей работе общее определение, условия существования и положительной определенности матрицы информации Хеллингера исследуются в нерегулярных случаях, рассмотренных Ибрагимовым и Хасьминским (1976). |
Чебунин М. Г. Видео, Слайды Эргодичность по Харрису Разделённого Протокола Управления Передачей Информации Протоколы управления передачей информации TCP с аддитивным ростом и мультипликативным сбросом интенсивности хорошо известны и изучены в многочисленных работах. Намного более сложным оказывается исследование свойств систем взаимодействующих протоколов. Мы рассматриваем систему обслуживания, в которой как интенсивность входного потока, так и интенсивность обслуживания следуют такому протоколу и динамика последней зависит от обеих интенсивностей. Такого рода стохастическая система была предложена в работе Баччелли, Карофиглио и Фосса в 2009 году, где при частных вероятностных предположениях была доказана положительная возвратность описывающей её марковской цепи и изучен ряд статистических свойств модели. В данной работе мы рассматриваем более общую вероятностную модель и приводим доказательство более сильного утверждения: эргодичности по Харрису соответствующей цепи Маркова. Работа выполнена совместно с С.Г. Фоссом. |
| 16:45 — 17:15 | Боровков К. А. Слайды Парижское Разорение со Случайными Зависящими от Дефицита Задержками для Спектрально-отрицательных Процессов Леви Мы рассматриваем интересное естественное обобщение задачи о парижском разорении в предположении, что динамика резерва риска задаётся спектрально-отрицательным процессом Леви. Отличительная особенность такого обобщения состоит в том, что распределение случайных длин для окон задержки реализации процесса может зависеть от дефицита в те моменты времени, когда процесс резерва риска становится отрицательным, тем самым начиная новый отрицательный цикл. Модель включает в себя возможность мгновенного разорения, когда дефицит достигает определенного подмножества. В такой общей постановке мы выведем аналитическое выражение для вероятности парижского разорения и совместного преобразования Лапласа для времени парижского разорения и дефицита в момент разорения. Доклад основан на совместной работе с Duy Phat Nguyen. |
Логачев А. В., Могульский А. А. Видео, Слайды Принципы Умеренно Больших Уклонений для Траекторий Неоднородных Случайных Блужданий В докладе будет рассмотрена нормированная ломаная построенная по суммам независимых, вообще говоря, разнораспределенных случайных величин. При различных моментных условиях на случайные величины будут изложены теоремы, содержащие принципы умеренно больших уклонений для таких ломаных в пространстве непрерывных на отрезке [0,1] функций. Также будет указана связь между зоной, в которой выполнен принцип умеренно больших уклонений, и тем моментом, который существует у случайных величин. |
|
| 17:15 — 17:30 | Welcome party + стенды | Кофе-брейк | |
| 17:30 — 18:10 | Вахтель В. И. Видео, Слайды Асимптотические Разложения Времени Первого Прохождения для Осциллирующего Случайного Блуждания В докладе мы рассмотрим асимптотические разложения для хвоста распределения времени, когда осциллирующее случайное блуждание впервые достигает фиксированного уровня $ -x \le 0 $. Кроме того, мы обсудим связь между такими разложениями и полигармоническими функциями для убитых случайных блужданий. |
Рыбко А. Н. Видео Динамические Системы, Связанные с Возникновением Альфа Ритма Коры Головного Мозга Изучается следующий класс динамических систем. На единичной окружности расположены $N$ точек, синхронно вращающихся по часовой стрелке с единичной скоростью. Задан связный ориентированный граф $F$ с вершинами в этих $N$ точках. Имеется (неизвестная) действительнозначная функция $f(x)$ на окружности, равная $f(x) = 0$ в выделенной точке $x = 0$ на окружности. Вращающиеся точки совершают прыжки: в момент $t$, когда какая либо точка $n=1,...,N$ вращаясь, попадает в $0$ на окружности, каждая точка $m$ из соседних по графу $F$ c точкой $n$ прыгает на расстояние $f(m(t)).$ Функция $f(x)$ зависит от $N,$ а граф $F$ является случайным. Ясно, что у таких динамических систем имеется простейшее инвариантное состояние, когда все точки слипаются в один большой атом, вращающийся по окружности. Как правило, находятся и другие инвариантные состояния для таких динамических систем. Задача заключается в нахождении таких естественных функций $f(x),$ для которых при растущем $t$ с близкой к единице вероятностью мы сойдемся этому простейшему инвариантному состоянию при больших $N.$ |
|
| 18:10 — 18:45 | Денисов Д. Э. Видео, Слайды Локальные Вероятности для Асимптотически Устойчивых Случайных Блужданий на Полупространстве Мы рассматриваем асимптотически устойчивое многомерное случайное блуждание $S(n)=(S_1(n),\ldots, S_d(n) )$. Пусть $\tau_x:=\min\{n>0: x_{1}+S_1(n)\le 0\}$ будет момент первого выхода случайно блуждания $x+S(n)$ из полупространства. Мы изучаем асимптотики $p_n(x,y):= \mathbb{P}(x+S(n) \in y+\Delta, \tau_x>n)$ при $n$ стремящемся к бесконечности, где $\Delta$ есть фиксированный куб. Мы получили точные асимптотики в режиме нормальных и малых уклонения и достаточно точные оценки в режиме больших уклонений. Используя эти результаты мы нашли локальные асимптотики функции Грина $G(x,y):=\sum_n p_n(x,y)$, когда $|y|$ и/или $|x|$ стремится к бесконечности. Работа выполнена совместно с В.И. Вахтелем. |
Зуев С. А. Видео Сводится ли Гармония к Алгебре (хотя бы статистически)? В недавнем исследовании американских учёных была предложена формула оценки привлекательности лица на основе отклонения его черт от заданных “канонических” значений. Последние определяются исходя из культуроведческих исследований и включают в себя утверждения типа: равенство ширины глаз расстоянию между ними или равенство отношения расстояния от носа до подбородка к ширине носа золотому сечению. Сама формула держится в секрете и её применение доступно на коммерческой основе. Однако по опубликованным данным мы можем довольно точно ее восстановить и подвергнуть критике подход авторов к попытке свести привлекательность к единой формуле, пусть и в статистическом смысле. Прежде, чем мы перейдём к алгебре, мы обсудим последние научные исследования на пересечении физиологии, психологии, статистики и компьютерной графики в области того, что есть привлекательность и ее биологические корни. |
|